Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, הקופינליות או סופיות של סדר חלקי היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה חוסמת (קופינלית) של . עוצמה זו מייצגת עד כמה הסדר קל לכיסוי.
ההגדרה הכללית של מושג הקופינליות תלויה בהנחה שלכל אוסף של עוצמות יש מינימום, ששקולה לאקסיומת הבחירה, אך בדרך כלל נשתמש במושג בקבוצות סדורות היטב, כך שלא נהיה חייבים להניח את אקסיומת הבחירה.
עבור קבוצה סדורה חלקית , נאמר כי תת-קבוצה היא קופינלית ב- אם לכל איבר מ- יש איבר מ- שגדול (או שווה) אליו. הקופינליות של היא:
אם סדור קווית אז היא קופינלית אם היא לא חסומה, ולכן הקופינליות של היא גודלה של הקבוצה הלא-חסומה המינימלית ב-.
לכל סודר , הקופינליות תוגדר כסודר הקטן ביותר שהוא טיפוס סדר של תת-קבוצה חוסמת של , כלומר .
באותה דרך ניתן להגדיר קופינליות של קבוצה סדורה היטב, באמצעות הקופינליות של טיפוס הסדר שלה: .
בהינתן מספר מונה , הקופינליות שלו תוגדר כעוצמת הקבוצה הקטנה ביותר של עוצמות הקטנות מ, וסכומם הוא : .
מכיוון שניתן להגדיר עבור , נקבל .
ממשפט קניג נובע כי לכל מספר מונה אינסופי מתקיים (נגדיר את צד שמאל כסכום העוצמות , ואת צד ימין כמכפלת בעצמו פעמים), וכן (לא ייתכנו עוצמות קטנות מ שסכומם , כי אז לפי משפט קניג כאשר . אם נניח ש נוכל להוסיף אפסים לאגף שמאל ואחדות לצד ימין כדי להגיע לסכום ומכפלה של איברים).
נעיר כי מהאמור לעיל נובע ש- מה שמדגים את העובדה שהקופינליות תלויה בעיקר בסדר הנבחר ולא בעוצמת הקבוצה.
מונה וכן סודר יקרא סדיר (רגולרי) אם הוא שווה לקופינאליות של עצמו, אחרת הוא יקרא חריג (סינגולרי). למשל, הוא מונה סדיר כי כל סדרה לא חסומה בו היא בהכרח אינסופית. כמו כן, בהנחת אקסיומת הבחירה, כל מונה עוקב הוא סדיר. לעומת זאת, המונה הגבולי הוא חריג כי הסדרה היא קופינלית בו ומעוצמה בלבד.
הקופינליות של כל סודר היא סודר סדיר, כלומר .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.