צימוד תרמי

צימוד תרמי (באנגלית: Thermal contact) הוא מושג בתרמודינמיקה ופיזיקה תרמית המתאר אינטראקציה בין שתי מערכות תרמודינמיות (או יותר), בה מתאפשר חילוף אנרגיה תרמית בין המערכות על ידי הולכת חום.

מערכת בטמפרטורה התחלתית של 0° (בכחול) נמצאת בצימוד תרמי עם מערכת בטמפרטורה התחלתית של 100° (באדום). חום יזרום מהמערכת החמה לקרה עד אשר יתקיים שוויון טמפרטורות (למטה).

כאשר שתי מערכות תרמודינמיות נמצאות בצימוד תרמי, חום יזרום מהמערכת בעלת הטמפרטורה הגבוהה יותר (המערכת החמה) למערכת בעלת הטמפרטורה הנמוכה יותר (המערכת הקרה). כתוצאה מכך תרד טמפרטורת המערכת החמה, המאבדת אנרגיה תרמית בתהליך, ותעלה טמפרטורת המערכת הקרה בהתאם. זרימת החום תיפסק בהגעה לשיווי משקל תרמודינמי, שיתקיים כאשר תגענה המערכות לשוויון טמפרטורות.

התנאי לשיווי משקל תרמודינמי

מערכת A נמצאת בצימוד תרמי עם מערכת B. שתי המערכות יחד מהוות מערכת סגורה, כלומר אינן מחליפות אנרגיה עם הסביבה או עם מערכת אחרת. הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת נשארים קבועים. משימור אנרגיה כוללת של שתי המערכות יחד מתקיים: ${\displaystyle U=U_{A}+U_{B}=Const}$.

נראה כי התנאי לשיווי משקל תרמודינמי הוא שוויון טמפרטורות בין המערכות בשתי דרכים, תוך שימוש בשיקולים שונים:

משמאל: שתי מערכות לפני צימוד תרמי. מימין: המערכות לאחר צימוד תרמי והגעה לשיווי משקל תרמודינמי. המסגרת החיצונית ממחישה בידוד תרמי מהסביבה.

שיווי משקל משיקולי פונקציות תרמודינמיות^[1]

נסתכל על האנטרופיה הכוללת של שתי המערכות: ${\displaystyle S=S_{A}+S_{B}}$. התנאי לשיווי משקל הוא מקסימום של האנטרופיה הכוללת: ${\displaystyle dS=0}$.

מהחוק הראשון של התרמודינמיקה, תוך שמירת הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת קבועים, נקבל: ${\displaystyle dS={\displaystyle \left({\frac {\partial S_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}+\left({\frac {\partial S_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{B}}}$

נשתמש בהגדרת הטמפרטורה: ${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\Bigl (}{\frac {\partial S}{\partial U}}{\Bigr )}_{V,N}}$, ונקבל: ${\displaystyle dS={\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}dU_{A}+{\frac {1}{T}}_{B}dU_{B}}}$

משימור אנרגיה כוללת מתקיים: ${\displaystyle dU_{B}=-dU_{A}}$, לכן: ${\displaystyle dS={\displaystyle {\Bigl (}{\frac {1}{T}}_{A}-{\frac {1}{T}}_{B}{\Bigr )}dU_{A}}}$

מכאן ניתן לראות שהדרישה ${\displaystyle dS=0}$ שקולה לדרישה: ${\displaystyle \Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}={\frac {1}{T}}_{B}}}$ שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור ${\displaystyle T_{A}=T_{B}}$.

שיווי משקל משיקולי פיזיקה סטטיסטית^[2]

נסתכל על פונקציית הריבוי ${\displaystyle g(U,V,N)}$ של המערכת הסגורה, המתארת את מספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים המתאימים למצב מקרוסקופי מסוים;

המערכות בלתי תלויות (מלבד האילוץ של שימור אנרגיה כוללת), לכן משיקולי קומבינטוריקה ניתן לכתוב את פונקציית הריבוי הכוללת כמכפלת פונקציות הריבוי של כל אחת מהמערכות, תוך סכימה על אנרגיות ${\displaystyle U_{A},U_{B}}$ אפשריות שונות:

${\displaystyle g_{tot}=\sum _{U_{A},U_{B}}g_{A}\cdot g_{B}=\sum _{U_{A},U_{B}}g_{A}(U_{A},V_{A},N_{A})\cdot g_{B}(U_{B},V_{B},N_{B})}$

משימור אנרגיה כוללת במערכת הסגורה מתקיים:

${\displaystyle g_{tot}=\sum _{0\leq U_{A}\leq U}g_{A}(U_{A},V_{A},N_{A})\cdot g_{B}(U-U_{A},V_{B},N_{B})}$

באדום: גאוסיאן בעל שיא צר, המאפיין את פונקציית הריבוי סביב נקודת שיווי המשקל. מרבית התרומה מתקבלת בטווח צר סביב השיא. בכחול: גאוסיאן בעל שיא רחב יותר. התרומה נפרשת על פני טווח רחב יותר סביב השיא.

מצב שיווי המשקל הוא המצב המקרוסקופי עבורו קיים מספר מקסימלי של מצבים מיקרוסקופיים זמינים: ${\displaystyle dg_{tot}=0}$. מקסימום זה מאופיין בשיא צר, כך שניתן להזניח את תרומת המצבים המקרוסקופיים האחרים לפונקציית הריבוי הכוללת. הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת נותרים קבועים, לכן (תוך שימוש בנגזרת מכפלה) נקבל: ${\displaystyle dg_{tot}={g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}+g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{B}}}$

משימור אנרגיה כוללת מתקיים: ${\displaystyle dU_{B}=-dU_{A}}$, לכן:

${\displaystyle dg_{tot}={g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}dU_{A}-g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}dU_{A}}}$

מכאן ניתן לראות שהדרישה ${\displaystyle dg_{tot}=0}$ שקולה לדרישה:${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{g_{A}}}\left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}={\frac {1}{g_{B}}}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}}\Leftrightarrow {g_{B}\displaystyle \left({\frac {\partial g_{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=g_{A}\left({\frac {\partial g_{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}}}$

${\displaystyle \Leftarrow }$ מתכונות נגזרת לוגריתם, שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור: ${\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {\partial log(g_{A})}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=\left({\frac {\partial log(g_{B})}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}}}$

נגדיר את האנטרופיה חסרת הממדים: ${\displaystyle \sigma (U,V,N)\equiv log(g(U,V,N))}$, המקיימת ${\displaystyle S=k_{B}\sigma }$ כאשר ${\displaystyle k_{B}}$ הוא קבוע בולצמן,

ונקבל כי בשיווי משקל: ${\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {\partial \sigma _{A}}{\partial U_{A}}}\right)_{V_{A},N_{A}}=\left({\frac {\partial \sigma _{B}}{\partial U_{B}}}\right)_{V_{B},N_{B}}}}$

בנוסף, נגדיר את הטמפרטורה: ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{T}}\equiv k_{B}\left({\frac {\partial \sigma }{\partial U}}\right)_{V,N}}}$ ונקבל: ${\displaystyle \Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}={\frac {1}{T}}_{B}}}$ שיווי משקל תרמודינמי יתקיים עבור ${\displaystyle T_{A}=T_{B}}$.

כיוון זרימת החום

נראה כי חום יזרום מהמערכת החמה למערכת הקרה עד ההגעה לשיווי משקל:

נניח שרירותית כי חום זרם ממערכת A למערכת B ${\displaystyle dU_{A}=-dU_{B}<0\Leftarrow }$. נסתכל על השינוי באנטרופיה הכוללת:

${\displaystyle dS={\frac {1}{T_{A}}}dU_{A}+{\frac {1}{T_{B}}}dU_{B}={\Bigl (}{\frac {1}{T_{A}}}-{\frac {1}{T_{B}}}{\Bigr )}dU_{A}}$

בשיווי משקל תרמודינמי האנטרופיה מקסימלית (וכן אינה יכולה לקטון בתהליך ספונטני) ${\displaystyle dS\geq 0\Leftarrow }$, בפרט כיוון שההנחה היא שזרם חום בין המערכות אזי ${\displaystyle dS>0}$,

אבל הנחנו כי ${\displaystyle dU_{A}<0}$, לכן בהכרח מתקיים ${\displaystyle T_{A}>T_{B}\Leftarrow {\displaystyle {\frac {1}{T}}_{A}<{\frac {1}{T}}_{B}}}$.

קיבלנו כי חום אכן זורם מהמערכת החמה למערכת הקרה, עד אשר מתקיים שוויון טמפרטורות.

ראו גם

• הולכת חום
• פונקציית ריבוי
• אנטרופיה
• שיווי משקל תרמודינמי
• תרמודינמיקה
• פיזיקה סטטיסטית

לקריאה נוספת

• Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania, John Wiley & Sons,1985
• Enrico Fermi, Thermodynamics, Dover, 1936
• C.J. Adkins, Equilibrium Thermodynamics, 3rd Edition, Cambridge University Press, 1983
• Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, University of California, W.H. Freeman and Company, 1980
• David Goodstein, Thermal Physics, Cambridge University Press, 2015

הערות שוליים

1. Chapter 2-4, Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania, John Wiley & Sons, 1985
2. Chapter 2, Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, University of California, W.H. Freeman and Company, 1980