פונקציה מציינת

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעיתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה ${\displaystyle \,X}$ ומציינת שייכות לתת קבוצה ${\displaystyle \,A}$ של ${\displaystyle \,X}$. הפונקציה המציינת ${\displaystyle 1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace \,}$ מוגדרת באופן הבא:

${\displaystyle 1_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\in A\\0&{\mbox{if}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.}$

הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם כ-${\displaystyle \ \chi _{A}(x)}$,${\displaystyle 1_{X}}$ או כ-${\displaystyle \ I_{A}(x)}$, או כ־${\displaystyle [x\in A]}$ באמצעות סוגרי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ ו-${\displaystyle \,A=\lbrace 1\rbrace }$, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות

אם ${\displaystyle \,A}$ ו-${\displaystyle \,B}$ תת-קבוצות של ${\displaystyle \,X}$ אזי:

• תכונת החיתוך: ${\displaystyle 1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}\cdot 1_{B}}$
• תכונת האיחוד: ${\displaystyle 1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}\cdot 1_{B}}$ (עקרון ההכלה וההפרדה)
• תכונת המשלים: ${\displaystyle 1_{A^{\complement }}=1-1_{A}}$

מסקנות:

• תכונת ההפרש הסימטרי: ${\displaystyle 1_{A\triangle B}=1_{A}+1_{B}-2(1_{A}\cdot 1_{B})}$

או לחלופין: ${\displaystyle 1_{A\triangle B}=1_{A}+1_{B}{\pmod {2}}}$

רציפות

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת ${\displaystyle \,1_{A}}$ רציפה בכל הנקודות הפנימיות של ${\displaystyle \,A}$ ושל המשלים של ${\displaystyle \,A}$, ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת ${\displaystyle \,A}$. בכל נקודות הרציפות של ${\displaystyle \,1_{A}}$ הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

מדידות

משפט: תהי ${\displaystyle E\subset X}$ תת-קבוצה אז זו מדידה אם ורק אם${\displaystyle 1_{E}}$ היא ${\displaystyle (M_{X},{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} })}$-מדידה

הוכחה: נשים לב כי ${\displaystyle 1_{E}^{-1}(\lbrace 1\rbrace )=E}$ וכי ${\displaystyle 1_{E}^{-1}(\lbrace 0\rbrace )=E^{c}}$. לכן אם ${\displaystyle E}$ מדידה קל לראות כי ${\displaystyle 1_{E}}$ פונקציה מדידה. מצד שני, אם${\displaystyle 1_{E}}$ פונקציה מדידה, מתקיים ${\displaystyle E=1_{E}^{-1}(\lbrace 1\rbrace )}$ ולכן ${\displaystyle E}$ מדידה, כנדרש ${\displaystyle \blacksquare }$^[1]

הקשר לקבוצת החזקה

קבוצת הפונקציות המציינות, ${\displaystyle \ \lbrace 0,1\rbrace ^{X}=\lbrace 1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace |A\subseteq X\rbrace }$, היא איזומורפית לקבוצת החזקה ${\displaystyle P(X)}$. האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: ${\displaystyle a\in A\iff 1_{A}(a)=1}$, כלומר איבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש-${\displaystyle |P(A)|=2^{|A|}}$ (ראו עוצמה).

תכולה וקשר לאינטגרל

עבור ${\displaystyle A}$ קבוצה המוכלת בקטע ${\displaystyle [a,b]}$, נגדיר את התכולה הפנימית של ${\displaystyle A}$ להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של ${\displaystyle A}$ בקטע ${\displaystyle [a,b]}$ ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של ${\displaystyle A}$ על בסיס אינטגרל עליון. אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של ${\displaystyle A}$. ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מניה יש תכולה אפס (זאת אומרת שהתכולה שלה היא אפס), או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו. משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.

הגדרת אינטגרל לבג ובכלליות כל תאורית תורת המידה נבנת על ידי קירוב של פונקציות אינטגרביליות לבג באמצעות סכומים סופיים חלקיים של פונקציות אינדיקטורים ומידות של גודל הקבוצות (משפט חשוב בתורת המידה הוא כי כל פונקציה מדידה ניתן להצגה כגבול סכומים של פוקנציות אינדיקטורים ומכפלה שלהם במספרים).

ראו גם

• מידה (מתמטיקה)
• תורת הקבוצות
• תורת המידה
• אלגברה בוליאנית

הערות שוליים

1. (מתוך סיכום של האוניברסיטה העברית בירושלים)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.