נקודת הסתעפות

באנליזה מרוכבת, נקודת הסתעפות של פונקציה מרובת-ערכים היא נקודה שתנועה רציפה במעגל קטן סביבה לאורך יריעת הפונקציה אינה חוזרת לאותה נקודה. פונקציות מרובות ערכים נלמדות דרך יריעות רימן, ובאופן כללי יותר - יריעות אלגבריות.

אפשר לסווג נקודות הסתעפות לשלוש מחלקות: נקודות הסתעפות אלגבריות, טרנסצנדנטיות ולוגריתמיות. נקודות הסתעפות אלגבריות מתקבלות, באופן טיפוסי, במעבר בין פתרונות שונים של משוואה פולינומית; לדוגמה, בפונקציה ${\displaystyle z=w^{2}}$ (כאשר ${\displaystyle w}$ היא פונקציה כפולת-ערכים של ${\displaystyle z}$), הנקודה ${\displaystyle z=0}$ היא נקודת הסתעפות אלגברית. תופעה זו נחקרת באמצעות המונודרומיה של הפונקציה. על אף ההסתעפות, ${\displaystyle w}$ היא פונקציה רציפה של ${\displaystyle z}$ גם בראשית. לעומת זאת, נקודות שבהן יש מונודרומיה לא טריוויאלית וסינגולריות עיקרית הן נקודות הסתעפות לא אלגבריות. בתורת הפונקציות מתאר המונח נקודת הסתעפות בדרך כלל נקודות מן הטיפוס הראשון, ובשאר תחומי האנליזה - נקודות הסתעפות במובן הרחב יותר.

נקודות הסתעפות אלגבריות

יהי ${\displaystyle D}$ תחום פתוח ופשוט קשר במישור המרוכב, ותהי ${\displaystyle f}$ פונקציה הולומורפית המוגדרת על ${\displaystyle D}$. אם ${\displaystyle f}$ אינה קבועה, לקבוצת הנקודות הקריטיות (הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת) אין נקודות הצטברות. לכן, כל נקודה קריטית ${\displaystyle z_{0}}$ נמצאת במרכזו של מעגל קטן מספיק, ${\displaystyle B}$, שהסגור שלו אינו כולל אף נקודה קריטית נוספת. תהי ${\displaystyle c}$ המסילה המתארת את העיגול התוחם את ${\displaystyle B}$, בכיוון החיובי. מספר הליפוף (winding number) של ${\displaystyle f(c)}$ ביחס ל-${\displaystyle z_{0}}$ הוא מספר טבעי ${\displaystyle k}$, הקרוי אינדקס הסיעוף (ramification index) של ${\displaystyle z_{0}}$. אם האינדקס הזה גדול מ-1, הערך הקריטי ${\displaystyle f(z_{0})}$ הוא נקודת הסתעפות אלגברית. מצב זה שקול לכך שקיימת פונקציה הולומורפית ${\displaystyle h}$ כך ש-${\displaystyle f(z)=h(z)(z-z_{0})^{k}}$.

באופן טיפוסי איננו מתעניינים בפונקציה ${\displaystyle f}$ עצמה, אלא בפונקציה ההפוכה; אלא שבסביבה של נקודת הסתעפות, הפונקציה אינה הפיכה במובן הרגיל של המלה, אלא בתור פונקציה מרובת ערכים. זהו המצב באופן כללי יותר כאשר הפונקציה מוגדרת על ידי משוואה ולא באופן ישיר. משטחי רימן מספקים מסגרת אחידה לכל הדוגמאות האלה.

נקודות הסתעפות טרנסצנדנטיות

תהי ${\displaystyle g}$ פונקציה אנליטית כללית המוגדרת בעיגול מנוקב סביב ${\displaystyle z_{0}}$. ל-${\displaystyle g}$ יש נקודת הסתעפות טרנסצנדנטית אם ${\displaystyle z_{0}}$ היא נקודת סינגולריות עיקרית, כך שההמשכה האנליטית של ענף אחד של הפונקציה לאורך מסילה המקיפה את הנקודה, מגיעה לענף אחר שלה. לדוגמה, הראשית היא נקודת הסתעפות טרנסצנדנטית של ${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)}$ כאשר ${\displaystyle k>1}$ מספר שלם. בדוגמה זו, חבורת המונודרומיה סביב הראשית היא סופית: הקפת הראשית ${\displaystyle k}$ פעמים חוזרת לאותו ענף אנליטי.

כאשר חבורת המונודרומיה אינסופית, הנקודה נקראת נקודת הסתעפות לוגריתמית, משום שהדוגמה הטיפוסית לכך היא הלוגריתם המרוכב בסביבת הראשית: בכל הקפה של הראשית, הלוגריתם גדל ב-${\displaystyle 2\pi i}$, ולכן חבורת המונודרומיה היא החבורה הציקלית האינסופית.

בגאומטריה אלגברית

בגאומטריה אלגברית אפשר להכליל את המושג של נקודת הסתעפות לכל העתקה בין שני עקומים אלגבריים. יהי ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ מורפיזם בין עקומים. שדה הפונקציות ${\displaystyle F(X)}$ הוא הרחבת שדות של ${\displaystyle F(Y)}$. ממד ההרחבה הזו נקרא הדרגה של ${\displaystyle f}$. נניח ש-${\displaystyle f}$ בעלת דרגה סופית, ותהי ${\displaystyle P}$ נקודה של ${\displaystyle X}$. אינדקס הסיעוף ${\displaystyle e}$ של ${\displaystyle P}$ מוגדר באופן הבא. תהי ${\displaystyle Q=f(P)}$. יהי ${\displaystyle t}$ פרמטר מקומי ב-${\displaystyle P}$, כלומר פונקציה רגולרית המוגדרת בסביבה של ${\displaystyle Q}$. משיכת ${\displaystyle t}$ על ידי ${\displaystyle f}$ מגדירה פונקציה רגולרית על ${\displaystyle X}$, והאינדקס מוגדר לפי ${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$, כאשר ${\displaystyle v_{P}}$ היא ההערכה של החוג המקומי של הפונקציות הרגולריות ב-${\displaystyle P}$. הנקודה ${\displaystyle Q}$ נקראת נקודת הסתעפות כאשר ${\displaystyle e>1}$.

קישורים חיצוניים

• נקודת הסתעפות, באתר MathWorld (באנגלית)