מתמטיקה במצרים העתיקה

מתמטיקה במצרים העתיקה היא המתמטיקה שפותחה והשתמשו בה במצרים העתיקה בין השנים 3000-300 לפני הספירה לערך, מתקופת הממלכה הקדומה ועד לתחילתה של תקופת מצרים ההלניסטית. המצרים הקדמונים השתמשו במערכת ספרות למנייה ולפתרון בעיות מתמטיות כתובות, שלעיתים קרובות כללו כפל (אנ') ושברים. עדויות למתמטיקה מצרית מוגבלות לכמות מועטה של מקורות שרידיים שנכתבו על פפירוס. מכתבים אלו ידוע שהמצרים הקדמונים הבינו מושגים של גאומטריה (אנ'), כגון קביעת שטח פנים ונפח של צורות תלת-ממדיות שימושיות להנדסה אדריכלית, ואלגברה (אנ'), כגון שיטת המיקום השגוי (אנ') ומשוואות ריבועיות.

סקירה כללית

עדויות כתובות לשימוש במתמטיקה מתוארכות לפחות לשנת 3200 לפני הספירה עם תוויות שנהב שנמצאו בקבר U-j באבידוס. נראה שתוויות אלו שימשו כתגים לסחורות בקברים וחלקן כתובות במספרים.^[1] עדויות נוספות לשימוש במערכת המספרים לפי בסיס 10 ניתן למצוא בראש אלת נערמר המתאר מנחות של 400,000 שוורים, 1,422,000 עיזים ו-120,000 אסירים.^[2] עדויות ארכאולוגיות העלו כי מקורה של שיטת הספירה המצרית העתיקה באפריקה שמדרום לסהרה.^[3] כמו כן, עיצובי גאומטריה פרקטלית שהיו נפוצים בקרב תרבויות אפריקאיות שמדרום לסהרה נמצאים גם באדריכלות המצרית ובסימנים קוסמולוגיים.^[4]

העדויות לשימוש במתמטיקה בתקופת הממלכה הקדומה (בסביבות 2690–2180 לפנה"ס) הן נדירות, אך ניתן להסיק מכתובות קיר ליד מסטבה במיידום (אנ') הנותנות קווים מנחים לשיפוע המסטבה.^[5] הקווים בתרשים מרווחים במרחק של אמה אחת ומציגים את השימוש באותה יחידת מדידה (אנ').^[1]

המסמכים המתמטיים האמיתיים המוקדמים ביותר מתוארכים לתקופת השושלת השתים-עשרה (בסביבות 1990–1800 לפני הספירה). פפירוס מוסקבה, מגילת העור המתמטית המצרית (אנ'), הפפירוסים המתמטיים של להון (אנ'), שהם חלק מאוסף גדול הרבה יותר של פפירוסי קהון (אנ') ופפירוס ברלין 6619, מתוארכים כולם לתקופה זו. פפירוס רינד המתוארך לתקופת הביניים השנייה (בערך 1650 לפנה"ס) מבוסס על טקסט מתמטי ישן יותר מהשושלת השתים-עשרה.^[6]

פפירוס מוסקבה ופפירוס רינד הם כתבים של בעיות מתמטיות. הם מורכבים מאוסף של בעיות עם פתרונות. ייתכן שהכתבים הללו נכתבו על ידי מורה או תלמיד ועוסקים בפתרון בעיות מתמטיות טיפוסיות.^[1]

תכונה מעניינת של המתמטיקה המצרית העתיקה היא השימוש בשברי יחידה.^[7] המצרים השתמשו בסימון מיוחד לשברים כמו ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ו-${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$, ובמספר כתבים עבור ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$, אך שברים אחרים נכתבו כולם כשברי יחידה מהצורה ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ או סכומים של שברי יחידה כאלה. פקידים נעזרו בטבלאות כדי לעבוד עם השברים האלה. מגילת העור המתמטית המצרית למשל היא טבלה של שברי יחידות המבוטאים כסכומים של שברי יחידות אחרים. פפירוס רינד ומספר מהכתבים האחרים מכילים טבלאות ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$. טבלאות אלו אפשרו לפקידים לשכתב כל חלק מהטופס ⁠⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ כסכום של שברי יחידה.^[1]

בתקופת הממלכה החדשה (בערך 1550–1070 לפנה"ס) מוזכרות בעיות מתמטיות בפפירוס אנאסטאזי א, ופפירוס וילבור (אנ') מתקופת רעמסס השלישי מתעד מדידות קרקע. בכפר הפועלים דיר אל-מדינה נמצאו מספר אוסטרקנים המתארים חישובי נפחי עפר וסלע במהלך חציבת קברים.^[1][6]

מקורות

ההבנה הנוכחית של המתמטיקה המצרית העתיקה מעוכבת בשל מיעוט המקורות הזמינים. המקורות שכן קיימים כוללים את הכתבים הבאים (שמתוארכים, בדרך כלל, לתקופת הממלכה התיכונה ולתקופת הביניים השנייה):

• הפפירוס המתמטי של מוסקבה^[8]
• מגילת העור המתמטית המצרית (אנ')^[8]
• הפפירוסים המתמטיים של להון (אנ')^[8]
• פפירוס ברלין 6619, נכתב בסביבות 1800 לפני הספירה
• טבלאות העץ של אחמים (Akhmim) (אנ')^[6]
• פפירוס רייזנר (אנ'), מתוארך לתקופת השושלת השתים-עשרה המוקדמת של מצרים ונמצא בנאג אל-דיר, העיירה העתיקה תיניס^[8]
• הפפירוס המתמטי של רינד (RMP), מתוארך לתקופת הביניים השנייה (בערך 1650 לפני הספירה), אך מחברו, אחמס (Ahmes), מתאר אותו כעותק של פפירוס מתקופת הממלכה התיכונה שאבד. פפירוס רינד הוא הטקסט המתמטי הגדול ביותר.^[8]

מהממלכה החדשה יש קומץ כתבים וכתובות מתמטיות הקשורות לחישובים:

• פפירוס אנאסטאזי א, טקסט ספרותי שנכתב כמכתב (בדיוני) על ידי סופר בשם חורי וממוען לסופר בשם אמנמופה. חלק מהמכתב מתאר מספר בעיות מתמטיות.^[6]
• אוסטרקון סנמות 153, טקסט כתוב בהיראטית^[6]
• אוסטרקון טורינו 57170, טקסט כתוב בהיראטיקה^[6]
• אוסטרקון מדיר אל-מדינה מכיל חישובים. אוסטרקון IFAO 1206 למשל מציג את חישוב הנפחים, ככל הנראה קשור לחציבת קברים.^[6]

לפי אטיין גילסון, אברהם "לימד את המצרים חשבון ואסטרונומיה".^[9]

ספרות

ערכים מורחבים – ספרות מצריות, שבר מצרי

כתבים מצריים עתיקים יכולים להיכתב בכתב חרטומים או בכתב היראטי. בכל אחד מהייצוגים מערכת המספרים ניתנה תמיד בבסיס 10. המספר 1 הוצג באמצעות קו פשוט, המספר 2 היה מיוצג על ידי שני קווים וכו'. למספרים 10, 100, 1000, 10,000 ו-100,000 היו הירוגליפים משלהם. המספר 10 מיוצג על ידי רתמה עבור בקר, המספר 100 מיוצג על ידי חבל מפותל, המספר 1000 מיוצג על ידי פרח לוטוס, המספר 10,000 מיוצג על ידי אצבע, המספר 100,000 מיוצג על ידי צפרדע, ומיליון היה מיוצג על ידי אל עם ידיו מורמות בהערצה.^[8]

הירוגליפים לייצוג ספרות מצריות^[2]

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

אסטלת לוח של נסיכת הממלכה הקדומה נפרת-יאבת (מתוארך 2590–2565 לפנה"ס) מקברה בגיזה, ציור על אבן גיר, מוצג בלובר.

ספרות מצריות מתוארכות לתקופה הקדם-שושלתית. תוויות שנהב מאבידוס מתעדות את השימוש במערכת מספרים זו. מקובל גם לראות את הספרות בסצנות כדי לציין את מספר הפריטים המוצעים. בת המלך נפרת-יאבת מוצגת עם מנחה של 1000 שוורים, לחם, בירה וכו'.

מערכת המספרים המצרית הייתה מצטברת. מספרים גדולים יוצגו על ידי אוספים של הגליפים והערך התקבל על ידי חיבור של המספרים הבודדים יחד.

סצנה זו מתארת ספירת בקר (שהועתקה על ידי האגיפטולוג לפסיוס). ברישום האמצעי רואים משמאל 835 בקר בעל קרניים, ממש מאחוריהם כ-220 בעלי חיים (פרות?) ומימין 2235 עיזים. ברישום התחתון אנו רואים 760 חמורים משמאל ו-974 עזים מימין.

המצרים השתמשו כמעט אך ורק בשברים מהצורה ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$. חריג אחד בולט הוא השבר ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$⁠, שנמצא לעיתים קרובות בטקסטים המתמטיים. לעיתים רחוקות מאוד נעשה שימוש בגליף מיוחד לציון ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$. השבר ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ יוצג על ידי גליף שאולי תיאר פיסת פשתן מקופלת לשניים. השבר ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ יוצג על ידי הגליף עבור פה עם 2 קווים (בגדלים שונים). שאר השברים היו תמיד מיוצגים על ידי פה שהונח על מספר.^[8]

הירוגליפים לייצוג שברים^[8]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

סימון

שלבי חישובים נכתבו במשפטים בשפות מצריות. (לדוגמה, "מכפלת 10 ב-100; הופכת ל-1000").

בבעיית פפירוס רינד 28, ההירוגליפים

and

(D54, D55), סמלים לרגליים, שימשו כמשמעות "להוסיף" ו"להחסיר". אלה היו ככל הנראה קיצורים עבור

and

כלומר "להיכנס" ו"לצאת".^[10][11]

כפל וחילוק

הכפל המצרי נעשה על ידי הכפלה חוזרת ונשנית של המספר שיש להכפיל (המכפלה), ובחירה באיזה מהכפלות לחבר יחד (בעצם צורה של חשבון בינארי), שיטה המקשרת לתקופת הממלכה הקדומה. המכפיל נכתב ליד איור 1; לאחר מכן הוסיפו את המכפיל לעצמו, והתוצאה נכתבה ליד המספר 2. התהליך נמשך עד שההכפלות נתנו מספר גדול ממחצית המכפיל. ואז המספרים הכפולים (1, 2 וכו') הופחתו שוב ושוב מהמכפיל כדי לבחור איזו מהתוצאות של החישובים הקיימים יש לחבר יחד כדי ליצור את התשובה.^[2]

כקיצור דרך למספרים גדולים יותר, ניתן להכפיל את המוכפל מיד ב-10, 100, 1000, 10000 וכו'.

לדוגמה, בעיה 69 בפפירוס רינד מספקת את ההמחשה הבאה, כאילו נעשה שימוש בסמלים הירוגליפים (ולא בכתב ההיראטי האמיתי בפפירוס רינד).^[8]

הכפלת 14 × 80
חישוב מצרי			חישוב מודרני
תוצאה	מכפיל		תוצאה	מכפיל
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

הסמל מציין את תוצאות הביניים שמתווספות יחד כדי להפיק את התשובה הסופית.

ניתן להשתמש בטבלה שלמעלה גם כדי לחלק את 1120 ב-80. נפתור בעיה זו על ידי מציאת המנה (80) כסכום המכפילים של 80 שמצטברים ל-1120. בדוגמה זו זה יניב מנה של 10+ 4 = 14.^[8] דוגמה מסובכת יותר של אלגוריתם החלוקה מוצגת בבעיה 66. סה"כ 3200 רו של שומן אמורים להתחלק באופן שווה על פני 365 ימים.

חילוק 3200 ב-365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$243
${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$36
${\displaystyle {\tfrac {1}{2190}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$

ראשית, הפקיד יכפיל 365 שוב ושוב עד שתגיע לכפולה הגדולה ביותר האפשרית של 365, שהיא קטנה מ-3200. במקרה זה 8 כפול 365 הוא 2920 והוספה נוספת של כפולות של 365 תיתן בבירור ערך גדול מ-3200. לאחר מכן ציין כי ${\displaystyle {\tfrac {1}{2190}}}$ + ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$ + ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ כפול 365 נותן לנו את הערך של 280 שאנחנו צריכים. מכאן שאנו מוצאים ש-3200 חלקי 365 חייב להיות שווה ל- ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2190}}}$ + ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$ + ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ + 8.^[8]

אלגברה

בעיות אלגברה מצריות מופיעות הן בפפירוס המתמטי של רינד והן בפפירוס המתמטי של מוסקבה וכן במספר מקורות אחרים.^[8]

אחע בכתב חרטומים

בעיות אחע (Aha) כוללות מציאת כמויות לא ידועות (המכונות אחע) אם ניתן סכום הכמות וחלק (ים) ממנה. הפפירוס המתמטי של רינד מכיל גם ארבע בעיות מסוג זה. בעיות 1, 19 ו-25 של פפירוס מוסקבה הן בעיות אחע. לדוגמה, בעיה 19 מבקשת מאחד לחשב כמות שנלקחה ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$1 פעמים והוסיפו לה 4 כדי ליצור 10.^[8] במילים אחרות, בסימון מתמטי מודרני אנו מתבקשים לפתור את המשוואה הליניארית:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

פתרון בעיות אחע אלה כרוך בטכניקה הנקראת שיטת המיקום השגוי (אנ'). הטכניקה נקראת גם שיטת ההנחה הכוזבת. הפקיד יחליף ניחוש ראשוני של התשובה בבעיה. הפתרון באמצעות ההנחה השגויה יהיה פרופורציונלי לתשובה בפועל, והסופר ימצא את התשובה באמצעות יחס זה.^[8]

הכתבים המתמטיים מראים שהפקידים השתמשו (לפחות) בכפולות משותפות כדי להפוך בעיות עם שברים לבעיות באמצעות מספרים שלמים. בהקשר זה נכתבים מספרי עזר אדומים לצד השברים.^[8]

השימוש בשברי עיניים של הורוס מראה ידע (ראשוני) על התקדמות גאומטרית. הידע בהתקדמות החשבון ניכר גם מהמקורות המתמטיים.^[8]

משוואות ריבועיות

המצרים הקדמונים היו הציוויליזציה הראשונה שפיתחה ופתרה משוואות מדרגה שנייה (ריבועית). מידע זה נמצא בקטע מפפירוס ברלין 6619. בנוסף, המצרים פתרו משוואות אלגבריות מדרגה ראשונה שנמצאו בפפירוס רינד.^[12]

גאומטריה

תמונה של בעיה 14 מתוך הפפירוס המתמטי של מוסקבה. הבעיה כוללת תרשים המציין את ממדי הפירמידה הקטומה.

יש רק מספר מוגבל של בעיות ממצרים העתיקה הנוגעות לגאומטריה. בעיות גאומטריות מופיעות הן בפפירוס המתמטי של מוסקבה והן בפפירוס המתמטי של רינד. הדוגמאות מוכיחות שהמצרים הקדמונים ידעו לחשב שטחים של כמה צורות גאומטריות ונפחים של גלילים ופירמידות.

• שטח:
  • משולשים: הסופרים מתעדים בעיות בחישוב שטח משולש (פפירוס רינד ופפירוס מוסקבה).^[8]
  • מלבנים: בעיות בשטח של חלקת אדמה מלבנית מופיעות בפפירוס רינד ובפפירוס מוסקבה.^[8] בעיה דומה מופיעה בפפירוסים המתמטיים של להון (אנ') בלונדון.^[13][14]
  • עיגולים: בעיה 48 בפפירוס רינד משווה את שטח המעגל (בקירוב על ידי מתומן) לבין הריבוע המקיף שלו. התוצאה של בעיה זו משמשת בבעיה 50, שבה הסופר מוצא את השטח של שדה עגול בקוטר 9 קת (khet).^[8]
  • חצי כדור: בעיה 10 בפפירוס מוסקבה מוצאת את שטח הפנים של חצי כדור.^[8]
• נפח:
  • גלילי (גליל): מספר בעיות מראות את הפתרון לחישוב נפחן של ממגורות גליליות (פפירוס רינד, בעיות 41–43), בעוד שבעיה 60 בפפירוס רינד כנראה נוגעת לעמוד או חרוט במקום פירמידה. הוא קטן ותלול למדי, עם סקד (seked) (שיפוע הופכי) של ארבע אמות (מעוקב).^[8] בסעיף IV.3 של הפפירוס המתמטי של להון נמצא נפחו של אסם עם בסיס עגול תוך שימוש באותו הליך כמו בבעיה 43 בפפירוס רינד.
  • מלבני (קובי): מספר בעיות בפפירוס המתמטי של מוסקבה (בעיה 14) ובפפירוס המתמטי של רינד (בעיות 44, 45, 46) מחשבות את נפחו של אסם מלבני.^[13]
  • פירמידה קטומה (גוף קטום): הנפח של פירמידה קטומה מחושב בבעיה 14 בפפירוס המתמטי של מוסקבה.^[8]

הסקד

בעיה 56 בפפירוס המתמטי של רינד מצביעה על הבנה של רעיון הדמיון הגאומטרי. בעיה זו דנה ביחס בין ההתקדמות בכיוון האופקי להתקדמות בכיוון האנכי, הידוע גם כסקד (seqed). נוסחה כזו נדרשת לבניית פירמידות. בבעיה הבאה (בעיה 57), גובה הפירמידה מחושב מאורך הבסיס והסקד (ההופכי של השיפוע, במצרית), בעוד בעיה 58 נותנת את אורך הבסיס והגובה ומשתמשת במידות אלו כדי לחשב את הסקד. בבעיה 59 חלק 1 מחושב הסקד, בעוד שהחלק השני עשוי להיות חישוב לבדיקת התשובה: אם תבנה פירמידה עם צלע בסיס 12 [אמות] ועם סקד של 5 אמות ואצבע אחת; מה הגובה שלה?^[8]

ראו גם

• היסטוריה של המתמטיקה
• כתב חרטומים

לקריאה נוספת

• Boyer, Carl B. 1968. History of Mathematics. John Wiley. Reprint Princeton U. Press (1985).
• Chace, Arnold Buffum. 1927–1929. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. 2 vols. Classics in Mathematics Education 8. Oberlin: Mathematical Association of America. (Reprinted Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979). ISBN 0-87353-133-7
• Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
• Couchoud, Sylvia. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique. Paris: Éditions Le Léopard d'Or
• Daressy, G. "Ostraca," Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Catalogue General Ostraca hieraques, vol 1901, number 25001-25385.
• Gillings, Richard J. 1972. Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. (Dover reprints available).
• Imhausen, Annette. 2003. "Ägyptische Algorithmen". Wiesbaden: Harrassowitz
• Johnson, G., Sriraman, B., Saltztstein. 2012. "Where are the plans? A socio-critical and architectural survey of early Egyptian mathematics" In Bharath Sriraman, Editor. Crossroads in the History of Mathematics and Mathematics Education. The Montana Mathematics Enthusiast Monographs in Mathematics Education 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, NC
• Neugebauer, Otto (1969). The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.
• Peet, Thomas Eric. 1923. The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited
• Reimer, David (2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16012-2.
• Robins, R. Gay. 1995. "Mathematics, Astronomy, and Calendars in Pharaonic Egypt". In Civilizations of the Ancient Near East, edited by Jack M. Sasson, John R. Baines, Gary Beckman, and Karen S. Rubinson. Vol. 3 of 4 vols. New York: Charles Schribner's Sons. (Reprinted Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
• Sarton, George. 1927. Introduction to the History of Science, Vol 1. Willians & Williams.
• Strudwick, Nigel G., and Ronald J. Leprohon. 2005. Texts from the Pyramid Age. Brill Academic Publishers. ISBN 90-04-13048-9.
• Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
• Van der Waerden, B.L. 1961. Science Awakening. Oxford University Press.
• Vymazalova, Hana. 2002. Wooden Tablets from Cairo...., Archiv Orientální, Vol 1, pages 27–42.
• Wirsching, Armin. 2009. Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut. (2 ed) Books on Demand. ISBN 978-3-8370-2355-8.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מתמטיקה במצרים העתיקה בוויקישיתוף

• Egyptian Arithmetic
• Introduction to Early Mathematics

הערות שוליים

1. Imhausen, Annette (2006). "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources". The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19–27. doi:10.1007/bf02986998. S2CID 122060653.
2. Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
3. Eglash, Ron (1999). African fractals : modern computing and indigenous design. New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press. pp. 89, 141. ISBN 0813526140.
4. Eglash, R. (1995). "Fractal Geometry in African Material Culture". Symmetry: Culture and Science. 6–1: 174–177.
5. Rossi, Corinna (2007). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69053-9.
6. Katz V, Imhasen A, Robson E, Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
7. Reimer, David (2014-05-11). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics. Princeton University Press. ISBN 9781400851416.
8. Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999 ISBN 978-0-87169-232-0.
9. Gilson, Étienne (February 15, 2019). "From Scotus Eriugena to Saint Bernard". History of Christian Philosophy in the Middle Ages. Washington DC: Catholic University of America Press. p. 265. doi:10.2307/j.ctvdf0jnn. ISBN 9780813231952. JSTOR j.ctvdf0jnn. OCLC 1080547285. S2CID 170577624.
10. Chace, Arnold Buffum; Bull, Ludlow; Manning, Henry Parker (1929). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 2. Mathematical Association of America.
11. Cajori, Florian (1993) [1929]. A History of Mathematical Notations. Dover Publications. pp. pp. 229–230. ISBN 0-486-67766-4.
12. Moore, Deborah Lela (1994). The African roots of mathematics (2nd ed.). Detroit, Mich.: Professional Educational Services. ISBN 1884123007.
13. R.C. Archibald Mathematics before the Greeks Science, New Series, Vol.73, No. 1831, (Jan. 31, 1930), pp. 109–121
14. Annette Imhausen Digitalegypt website: Lahun Papyrus IV.3