משפט תבנין

משפט תבנין (Thévenin) למעגלים חשמליים ליניאריים (אנ') קובע שכל צירוף של מקורות מתח, מקורות זרם ונגדים בעלי שני הדקים שקול חשמלית למקור מתח יחיד ונגד יחיד המחובר אליו בטור.

ניתן להפוך כל קופסה שחורה המכילה רק מקורות מתח, מקורות זרם ונגדים למעגל השקול של תבנין.

עבור מעגלי זרם חילופין (AC) הפועלים בתדירות יחידה, המשפט ניתן ליישום גם לגבי אימפדנסים כלליים, ולא רק לנגדים. המשפט קובע שניתן להפוך מעגל הבנוי ממקורות מתח ונגדים לשקול תבנין, שהוא שיטת פישוט המשמשת לניתוח מעגלים. ניתן להשתמש בשקול תבנין כמודל לאספקת כוח או לסוללה (כאשר הנגד מייצג את ההתנגדות הפנימית והמקור מייצג את הכוח אלקטרו מניע). המעגל מכיל מקור מתח אידיאלי בטור לנגד אידיאלי.

המשפט התגלה לראשונה על ידי המדען הגרמני הרמן פון הלמהולץ בשנת 1853, ונתגלה שוב בשנת 1883 על ידי מהנדס הטלגרף הצרפתי לאון שארל תבנין.

חישוב שקול תבנין

במציאת שקול תבנין יש להבחין במעגל המקורי בין חלק המעגל שאותו רוצים להחליף בשקול, לבין חלק המעגל המוגדר כעומס, ואותו אין מחליפים. העומס אינו משפיע על השקול המתקבל, וההשפעה היחידה שלו היא בצורת החיבור של שני הדקיו לחלק המעגל שאותו מחליפים. לעיתים (כמו בציור שלעיל), העומס אינו מופיע במפורש, אבל הדקיו חייבים להיות מוגדרים בצורה ברורה.

כדי לחשב את המעגל השקול, יש לדעת את ההתנגדות ואת המתח - שני נעלמים, ולכן דרושות שתי משוואות. מקבלים שתי משוואות אלו בדרך כלל על ידי ביצוע השלבים הבאים, אם כי כל זוג תנאים שמציבים על הדקי המעגל יעבדו:

1. חישוב מתח ההדקים ${\displaystyle V_{AB}\!\ }$ בתנאי נתק, כלומר כאשר לא מחובר נגד עומס בין ההדקים - התנגדות אינסופית. זהו ${\displaystyle V_{th}\!\ }$.
2. חישוב זרם ההדקים ${\displaystyle I_{AB}\!\ }$ בתנאי קצר, כלומר כאשר ההדקים מקוצרים - התנגדות אפס. זהו ${\displaystyle I_{th}\!\ }$.

מחשבים ${\displaystyle R_{th}\!\ }$ לפי:

${\displaystyle R_{th}={\frac {V_{th}}{I_{th}}}\!\ }$

המעגל השקול הוא מקור מתח שמתחו ${\displaystyle V_{th}\!\ }$ בטור לנגד שהתנגדותו ${\displaystyle R_{th}\!\ }$.

את תנאי 2 ניתן גם לחשב באופן הבא:

2א. החלפת מקורות מתח אידיאליים בקצר ומקורות זרם אידיאליים בנתק. מקורות בעלי התנגדות פנימית מוחלפים בהתנגדות הפנימית שלהם.

2ב. חישוב ההתנגדות הכוללת של המעגל בין שני ההדקים. זהו ${\displaystyle R_{th}\!\ }$.

דוגמה

המעגל המקורי

שלב 1: חישוב המתח השקול

שלב 2: חישוב ההתנגדות השקולה

שלב 3: המעגל השקול

חישוב המתח השקול שבדוגמה:

${\displaystyle V_{\mathrm {AB} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\mathrm {V} =7.5\mathrm {V} }$

(הנגד ${\displaystyle R_{1}\!\ }$ אינו נלקח בחשבון מאחר שהחישוב נעשה בתנאי נתק בין A ל-B, כך שלא זורם זרם דרך ${\displaystyle R_{1}\!\ }$ ולכן גם לא נופל עליו מתח)

חישוב ההתנגדות השקולה:

${\displaystyle R_{\mathrm {AB} }=R_{1}+\left(\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right)=1\,\mathrm {k} \Omega +\left(\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right)}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega }$

המרה משקול נורטון

שקול נורטון כולל מקור זרם ${\displaystyle I_{no}\!}$ ונגד ${\displaystyle R_{no}\!}$ המחובר אליו במקביל.

שקול נורטון קשור לשקול תבנין על ידי המשוואות הבאות:

${\displaystyle R_{th}=R_{no}\!}$

${\displaystyle V_{th}=I_{no}R_{no}\!}$

מגבלות ביישום

• משפט תבנין לא תקף עבור מערכת לא ליניארית. מעגלים רבים ליניאריים רק עבור תחום מסוים של עומסים.
• שקול תבנין הוא שקול רק מנקודת המבט של העומס. צריכת ההספק בתוך שקול תבנין לא מייצגת את צריכת ההספק בתוך המערכת האמיתית.
• כאשר יש מקורות תלויים לא ניתן לקצרם ולנתקם.

ראו גם

• עכבה חשמלית
• משפט נורטון
• משפט הסופרפוזיציה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט תבנין בוויקישיתוף