משפט הפירוק של ז'ורדן

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של ז'ורדן קובע כי כל מידה מסומנת ניתנת לכתיבה כהפרש של מידות חיוביות סינגולריות.^[1]

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המשפט נקרא על שמו של קאמי ז'ורדן. המשפט מספק תובנה חשובה על מידות מסומנות והיא שהן ניתנות לייצוג על-ידי הפרש של מידות "פשוטות" יותר, שהן מידות חיוביות. יתרה מכך, ניתן להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי להוכיח את משפט הפירוק של לבג ואת משפט רדון־ניקודים עבור מידות מסומנות.

מבוא ומונחים בסיסיים

עבור מרחב מדיד כלשהו ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$, מידה מסומנת היא פונקציה ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} (כאשר ${\displaystyle \mathbb {R} }$ הוא שדה המספרים הממשיים) המקיימת סיגמא-חיבוריות, מתאפסת עבור הקבוצה הריקה ומקבלת לכל היותר את אחד הערכים ${\displaystyle \infty }$ ו-${\displaystyle -\infty }$ (לא את שניהם). בהקשר זה פונקציית מידה "רגילה" תקרא מידה חיובית, והיא למעשה מידה מסומנת אשר מקבלת אך ורק ערכים אי-שליליים או ${\displaystyle \infty }$.

ניסוח פורמלי

עבור מרחב מדיד כלשהו ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ומידה מסומנת על המרחב ${\displaystyle \mu }$, קיים זוג מידות חיוביות ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ כך ש:

1. ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$.
2. ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ סינגולריות אחת ביחס לשנייה.

פירוק זה נקרא פירוק ז'ורדן והוא פירוק יחיד.

הוכחה

קיום

על-פי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית ${\displaystyle P\in \Sigma }$ (קבוצה שכל תתי-הקבוצות שלה ממידה אי-שלילית) כך שהמשלים שלה ${\displaystyle \Omega \backslash P}$ הוא קבוצה שלילית (קבוצה שכל תתי-הקבוצות שלה ממידה אי-חיובית). מגדירים את המידות ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ כך שלכל ${\displaystyle A\in \Sigma }$:^[2]

${\displaystyle \mu ^{+}(A):=\mu (A\cap P)}$

${\displaystyle \mu ^{-}(A):=-\mu (A\backslash P)}$

על פי היותה של ${\displaystyle P}$ קבוצה חיובית ו-${\displaystyle \Omega \backslash P}$ קבוצה שלילית, בהכרח ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ שתיהן חיוביות לכל ${\displaystyle A\in \Sigma }$. יתרה מזאת:

${\displaystyle \mu (A)=\mu ((A\cap P)\cup (A\backslash P))=\mu (A\cap P)+\mu (A\backslash P)=\mu ^{+}(A)-\mu ^{-}(A)}$

ולכן ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$.

מכל זאת נובע כי ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ הוא פירוק לפי ז'ורדן של ${\displaystyle \mu }$. מ.ש.ל.

יחידות

בהינתן ${\displaystyle \mu _{1}^{+},\mu _{1}^{-}}$ ו-${\displaystyle \mu _{2}^{+},\mu _{2}^{-}}$ שני פירוקים לפי ז'ורדן, לפי סינגולריות קיימות שתי קבוצות מדידות ${\displaystyle P_{1},P_{2}\in \Sigma }$ כך ש:

• ${\displaystyle \mu _{1}^{-}}$ מתאפסת על ${\displaystyle P_{1}}$
• ${\displaystyle \mu _{1}^{+}}$ מתאפסת על ${\displaystyle \Omega \backslash P_{1}}$
• ${\displaystyle \mu _{2}^{-}}$ מתאפסת על ${\displaystyle P_{2}}$
• ${\displaystyle \mu _{2}^{+}}$ מתאפסת על ${\displaystyle \Omega \backslash P_{2}}$

ניתן להבחין כי לכל ${\displaystyle \Sigma \ni A\subseteq P_{1}}$ מתקיים:

${\displaystyle \mu (A)=\mu _{1}^{+}(A)-\underbrace {\mu _{1}^{-}(A)} _{=0}=\mu _{1}^{+}(A)\geq 0}$

ולכל ${\displaystyle \Sigma \ni A\subseteq \Omega \backslash P_{1}}$ מתקיים:

${\displaystyle \mu (A)=\underbrace {\mu _{1}^{+}(A)} _{=0}-\mu _{1}^{-}(A)=-\mu _{1}^{-}(A)\leq 0}$

כלומר ${\displaystyle P_{1}}$ קבוצה חיובית ו-${\displaystyle \Omega \backslash P_{1}}$ קבוצה שלילית. נובע מכך כי ${\displaystyle P_{1},\Omega \backslash P_{1}}$ הוא פירוק לפי האן, ובאופן דומה גם ${\displaystyle P_{2},\Omega \backslash P_{2}}$ הוא פירוק לפי האן. בגלל שפירוק לפי האן הוא יחיד עד כדי קבוצות ממידה אפס, מתקיים ${\displaystyle \mu (P_{1}\Delta P_{2})=0}$. מכאן נובע כי לכל ${\displaystyle A\in \Sigma }$ מתקיים כי:

${\displaystyle \mu _{1}^{+}(A)=\mu (A\cap P_{1})=\mu (A\cap P_{2})=\mu _{2}^{+}(A)}$

כאשר השוויונות הימני והשמאלי הם לפי הגדרה והשוויון האמצעי נובע מהיותן של ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ שונות עד כדי קבוצה ממידה אפס. הדבר נכון לכל ${\displaystyle A\in \Sigma }$, לכן ${\displaystyle \mu _{1}^{+}=\mu _{2}^{+}}$ ובאופן דומה גם ${\displaystyle \mu _{1}^{-}=\mu _{2}^{-}}$.

מכאן שפירוק ז'ורדן הוא יחיד. מ.ש.ל.

מידת השתנות כוללת

בהינתן מידה מסומנת ${\displaystyle \mu }$ ופירוק ז'ורדן שלה ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$, ניתן להגדיר את מידת ההשתנות הכוללת המסומנת ב-${\displaystyle |\mu |}$ ומוגדרת להיות ${\displaystyle |\mu |:=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$. בגלל היחידות של פירוק ז'ורדן, מידת ההשתנות הכוללת מוגדרת היטב לכל ${\displaystyle \mu }$.

קישורים חיצוניים

• Jordan Decomposition Theorem, באתר Pr∞fWiki (באנגלית)

הערות שוליים

1. Jordan decomposition (of a signed measure) - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org
2. Tom Fischer, Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition, arxiv.org, ‏2012-06-23 (באנגלית)