משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו- ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ הזויות שמולן, בהתאמה, אז ${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R}$ כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן ב - ${\displaystyle h}$ ניתן להצגה באופן הבא:

${\displaystyle \ h=b\sin \alpha }$

אבל גם באופן הזה:

${\displaystyle \ h=a\sin \beta }$

ולכן:

${\displaystyle \ b\sin \alpha =a\sin \beta }$

או

${\displaystyle \ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות ${\displaystyle \sin \alpha =\sin(180-\alpha )}$. כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC. במשולש ישר-זווית זה (זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל). נסמן ב -${\displaystyle \delta }$ את הזווית CDB ואז

${\displaystyle \ a=2R\sin \delta }$

אבל זווית ${\displaystyle \delta }$ שווה לזווית ${\displaystyle \alpha }$ כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

${\displaystyle \ a=2R\sin \alpha }$

או

${\displaystyle \ {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R}$

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

${\displaystyle \ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה ${\displaystyle \alpha }$ הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה ${\displaystyle \beta }$.

ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: מערך שיעור
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: משפט הסינוסים

• משפט הקוסינוסים
• משפט הטנגנסים

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', מה בעצם הולך בטריגונומטריה בתיכון? (חלק ד' - משפט הסינוסים), באתר "לא מדויק", 26 ביוני 2021
• משפט הסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)
• משפט הסינוסים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)