משפט אולם

משפט אולם הוא משפט בתורת המבנה של חבורות אבליות. המשפט ממיין את החבורות האבליות המפותלות בנות-המניה, עד כדי איזומורפיזם.

סדרת אולם

חבורה אבלית היא פרימרית (עבור ראשוני p), אם כל האיברים הם מסדר חזקה של p. תהי A חבורה אבלית פרימרית. מגדירים, באינדוקציה טרנספיניטית, שרשרת של תת-חבורות באופן הבא: ${\displaystyle G_{0}=G}$, ${\displaystyle G_{\alpha +1}=pG_{\alpha }}$ לכל סודר ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle G_{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }G_{\beta }}$ לכל סודר גבולי ${\displaystyle \alpha }$. האורך של החבורה הוא הסודר שבו היא נעצרת (לראשונה ולתמיד). השרשרת נעצרת בתת-החבורה החליקה המקסימלית של A. החבורה A היא מצומצמת אם אין לה תת-חבורה חליקה (שונה מאפס); כלומר, כאשר A מצומצמת השרשרת מגיעה לאפס.

נסמן ב-P את אוסף האיברים מסדר p ב-G.

הממדים ${\displaystyle f(\alpha )=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P\cap G_{\alpha })/(P\cap G_{\alpha +1})}$ נקראים סדרת אולם של החבורה G. (אפשר להגדיר גם ${\displaystyle f'(\alpha )=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P+G_{\alpha })/(P+G_{\alpha +1})}$, ואז ${\displaystyle \dim _{\mathbb {F} _{p}}G_{\alpha }/G_{\alpha +1}=f(\alpha )+f'(\alpha )}$).

נאמר שסדרה המסתיימת בסודר בן-מניה היא אפשרית אם בין כל שני סודרים גבוליים מתחת לגובה הסדרה, יש אינסוף מקומות שבהם הסדרה אינה מתאפסת. משפט אולם קובע שסדרת אולם של חבורה אבלית פרימרית מצומצמת בת-מניה היא אפשרית, ושהסדרה קובעת את החבורה עד כדי איזומורפיזם.

מכיוון שתת-חבורה חליקה היא מחובר ישר וכל חבורה חליקה מפותלת היא סכום ישר של מרכיבים ידועים, ומכיוון שכל חבורה מפותלת מתפרקת לסכום ישר של חבורות פרימריות, משפט אולם ממיין באופן מלא את כל החבורות האבליות המפותלות בנות-המניה.

משפט אולם חל בשינויים קלים על מודולים נוצרים מנייתית מעל כל תחום ראשי.

מקורות

• I. Kaplansky, ``Infinite abelian groups, section 11.