Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, ובמיוחד בתהליכים הסטוכסטיים מרקוביים בתורת ההסתברות, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא זהות המתייחסת להתפלגויות ההסתברות המשותפות של קבוצות שונות של קואורדינטות בתהליך סטוכסטי. המשוואה נגזרה באופן עצמאי במקביל הן על ידי המתמטיקאי הבריטי סידני צ'פמן והן המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.
נניח ש- הוא אוסף מאונדקס של משתנים אקראיים, כלומר תהליך סטוכסטי. נגדיר
כפונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת של ערכי המשתנים האקראיים עד . ואז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא:
נשים לב שעדיין לא הונח שום דבר לגבי הסדר הזמני של המשתנים האקראיים - המשוואה שלעיל חלה באותה מידה על דחיקה לשוליים של כל אחד מהם.
כאשר התהליך הסטוכסטי הנדון הוא מרקוביאני, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב שקולה לזהות על צפיפות מעבר. בשרשרת מרקוב, מניחים ש-. ואז, בגלל תכונת מרקוב,
שבו ההסתברות המותנית היא הסתברות המעבר בין הזמנים . אז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב נראית מהצורה:
באופן לא רשמי, זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות לעבור ממצב 1 למצב 3 מההסתברויות לעבור מ-1 למצב ביניים 2 ולאחר מכן מ-2 ל-3, על ידי חיבור של כל מצבי הביניים האפשריים 2.
כאשר התפלגות ההסתברות על מרחב המצב של שרשרת מרקוב היא בדידה ושרשרת מרקוב הומוגנית, ניתן לבטא את משוואות צ'פמן-קולמוגורוב במונחים של כפל מטריצה (פוטנציאלית אינסופי ממדי), כך:
כאשר היא מטריצת המעבר של קפיצה , כלומר, היא המטריצה כך שמצב מכיל את ההסתברות שהשרשרת תעבור ממצב למצב ב- שלבים.
כתוצאה מכך נובע שכדי לחשב את מטריצת המעבר של קפיצה , מספיק להעלות את מטריצת המעבר של קפיצה אחת בחזקת , כלומר:
הצורה הדיפרנציאלית של משוואת צ'פמן-קולמוגורוב ידועה כמשוואת מאסטר.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.