מרחב היפרבולי

בטופולוגיה, מרחב היפרבולי הוא מרחב גאודזי הדומה, במובן מסוים, למודל הדיסק של הגאומטריה ההיפרבולית. בגאומטריה של מרחבים כאלה חלה בדרך כלל הגרסה ההיפרבולית של אקסיומת המקבילים - דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים.

משולש גאודזי במודל הדיסק של הגאומטריה ההיפרבולית

מרחב הוא היפרבולי אם קיים ${\displaystyle \ 0\leq \delta }$ כך שכל המשולשים הגאודזיים במרחב הם "${\displaystyle \delta }$-דקים", כלומר, כל נקודה שעל אחת הצלעות של משולש גאודזי נמצאת במרחק ${\displaystyle \ \delta }$ לכל היותר משתי הצלעות האחרות. יש הגדרות שקולות רבות, שלכולן אותו תוכן: הפנים של משולשים במרחב היפרבולי אינו יכול להתרחק מן הצלעות. כדוגמה קיצונית, עץ הוא מרחב היפרבולי, משום שכל המשולשים בו הם 0-דקים.

כל מרחב גאודזי חסום הוא היפרבולי, ולכן התכונה נעשית מעניינת רק במרחבים שאינם חסומים. מרחבי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ עם k<0 הם היפרבוליים. מאלה, משטחי רימן בעלי עקמומיות שלילית מהווים הדוגמה החשובה ביותר למרחבים היפרבוליים. מנגד, המרחב האוקלידי, מכל מימד, אינו היפרבולי.

השפה של מרחב היפרבולי

עותק איזומטרי של מחצית הישר ${\displaystyle \ [0,\infty )}$ במרחב מטרי נקרא קרן. שתי קרניים ${\displaystyle \ \gamma _{1},\gamma _{2}:[0,\infty )\rightarrow X}$ הן "אסימפטוטיות זו לזו", אם המרחק ${\displaystyle \ d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$ חסום. זהו יחס שקילות על מרחב הקרניים. המרחב של מחלקות השקילות הוא השפה של המרחב. לדוגמה, הקרניים במישור האוקלידי הן קרניים ישרות (במובן הגאומטרי, הרגיל, של המלה), ושתי קרניים אסימפטוטיות זו לזו אם ורק אם הן מצביעות לאותו כיוון. לכן, השפה של המישור היא אוסף הכיוונים של קרניים - "המעגל באינסוף".

אם מוסיפים למרחב היפרבולי את השפה שלו, מתקבל מרחב טופולוגי מטריזבילי וקומפקטי, שהמרחב המקורי (עם הטופולוגיה המטרית שלו) מהווה תת-מרחב פתוח וצפוף שלו. במילים אחרות, הטופולוגיה של מרחב היפרבולי (גם אם לא המטריקה עצמה), ניתנת לשיכון טבעי במרחב מטרי קומפקטי. בפרט, יש לה קומפקטיפיקציה.

כל קוואזי-איזומטריה של מרחבים היפרבוליים משרה הומיאומורפיזם של השפות; מכאן שהטופולוגיה של השפה היא שמורה קוואזי-איזומטרית של מרחבים היפרבוליים.

ראו גם

• מרחב (CAT(k
• חבורה היפרבולית

קישורים חיצוניים

• מרחב היפרבולי, באתר MathWorld (באנגלית)