זוג ז'ורדן

באלגברה, זוג ז'ורדן הוא מבנה אלגברי המכליל את אלגברות ז'ורדן.

המערכת מוגדרת מעל שדה ממאפיין שאינו 2 או 3, וכוללת שני מרחבים וקטוריים, ${\displaystyle \ V^{+},V^{-}}$, וזוג פעולות תלת-מקומיות טריליניאריות ${\displaystyle \ V^{\pm }\times V^{\mp }\times V^{\pm }\rightarrow V^{\pm }}$ (אותן מקובל לסמן בסימון המשותף ${\displaystyle \ (x,y,z)\mapsto \{xyz\}}$), המקיימות את אקסיומת הקומוטטיביות ${\displaystyle \ \{xyz\}=\{zyx\}}$ ואת האקסיומה ${\displaystyle \ \{xy\{uvz\}\}-\{uv\{xyz\}\}=\{\{xyu\}vz\}-\{u\{yxv\}z\}}$.

דוגמאות

מערכות ז'ורדן משולשות

המקרה המיוחד ${\displaystyle \ V^{+}=V^{-}}$ נקרא מערכת ז'ורדן משולשת. במערכת ז'ורדן משולשת מוגדרת אינוולוציה ${\displaystyle \ (x,y)\mapsto (y,x)}$, כך שמערכת ז'ורדן משולשת היא, בסופו של דבר, זוג ז'ורדן עם אינוולוציה. עם זאת, יש גם זוגות ז'ורדן ללא אינוולוציה (שבהם ממדי שני הרכיבים שונים זה מזה).

כל אלגברת ז'ורדן J מגדירה מערכת ז'ורדן משולשת ${\displaystyle \ V(J)=(J,J)}$, עם הפעולה ${\displaystyle \ \{xyz\}=(x\bullet y)\bullet z+(z\bullet y)\bullet x-y\bullet (x\bullet z)}$. מצד שני, בכל זוג ז'ורדן ${\displaystyle \ (V^{+},V^{-})}$ ולכל איבר ${\displaystyle \ a}$ באחד המרכיבים, הפעולה ${\displaystyle \ x\bullet y=\{xay\}}$ הופכת את המרכיב השני לאלגברת ז'ורדן.

אלגברות מדורגות

אם ${\displaystyle \ R=R_{-1}+R_{0}+R_{1}}$ היא אלגברה (אסוציאטיבית) מדורגת, אז ${\displaystyle \ V(R)=(R_{-1},R_{1})}$ הוא זוג ז'ורדן, ביחס לפעולה ${\displaystyle \ \{xyx\}=xyx}$. אם R אלגברה (מדורגת) פשוטה לא טריוויאלית (היינו, אחד המרכיבים הקיצוניים אינו 0), אז גם ${\displaystyle \ V(R)}$ זוג ז'ורדן פשוט.

בניה דומה קיימת עבור אלגברות לי מדורגות ${\displaystyle \ L=L_{-1}+L_{0}+L_{1}}$, שם אפשר להגדיר ${\displaystyle \ \{xyz\}=[[x,y],z]}$. זוגות ז'ורדן כאלה מאפשרים להכליל את הבניה של Tits-Kantor-Koecher, העומדת ביסודו של ריבוע הקסם של פרוידנטל. אם ${\displaystyle \ V=(V^{+},V^{-})}$ הוא זוג ז'ורדן, ו-H אלגברה של נגזרות של הזוג המכילה את כל הנגזרות הפנימיות, אז ${\displaystyle \ K_{H}(V)=V^{+}+H+V^{-}}$ היא אלגברת לי מדורגת, ויש התאמה מלאה בין אלגברות לי מדורגות שבהן המרכיב האמצעי פועל בנאמנות על סכום שני האחרים, לבין זוגות ז'ורדן עם אלגברת נגזרות כנ"ל. בניה זו, ודומות לה, הן שאיפשרו לחקור את אלגברות לי הפשוטות בכלים מתחום התורה של אלגברות ז'ורדן והכללותיהן.