מעגלים משיקים

מעגלים משיקים הם מעגלים הנמצאים במישור משותף ולכל שניים מהם נקודה משותפת יחידה. קיימים שני סוגים של השקה:

• השקה פנימית, שבה אחד המעגלים נמצא בתוך המעגל האחר. במצב זה המרחק בין מרכזי המעגלים שווה להפרש שבין אורכי הרדיוסים שלהם.
• השקה חיצונית, שבה שני המעגלים נמצאים זה לצד זה. במצב זה המרחק בין מרכזי המעגלים שווה לסכום אורכי הרדיוסים שלהם.

מעגלים משיקים. למעלה:השקה פנימית; למטה: השקה חיצונית

בעיות שונות בגאומטריה עוסקות במעגלים משיקים, בהן בעיות בעלות היבט מעשי, כגון ניצול מרבי של חומרים. אחדות מהבעיות מורחבות לעיסוק בכדורים.

שרשרת פאפוס

שני מעגלים עם מרכזים בנקודות ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ורדיוסים ${\displaystyle r_{i}}$, כאשר ${\displaystyle i=1,2}$, הם מעגלים משיקים אם ורק אם ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\pm r_{2})^{2}}$.

קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים המשיקים זה לזה, עובר דרך נקודת ההשקה שלהם.

שרשרת פאפוס

שרשרת פאפוס היא שרשרת טבעתית של מעגלים המשיקים כולם לשני מעגלים המשיקים פנימית זה לזה. השרשרת נחקרה בהמאה השלישית על ידי פאפוס מאלכסנדריה.

שרשרת שטיינר

שרשרת שטיינר

שרשרת שטיינר היא קבוצה סופית של מעגלים המשיקים כולם לשני מעגלים שאינם נחתכים (המעגל האדום והמעגל הכחול בדוגמה שמשמאל), ובנוסף כל מעגל בשרשרת משיק חיצונית למעגל שקדם לו בשרשרת ולמעגל שבא אחריו בשרשרת. מרכזי המעגלים בשרשרת שטיינר שוכנים על אליפסה או על היפרבולה.

בעיית אפולוניוס

בעיית אפולוניוס בשלושה מעגלים

בעיית אפולוניוס היא אוסף של בעיות בנייה שבהן יש לבנות מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל, שנחקרו על ידי אפולוניוס מפרגה. מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה. פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן, ולעיתים המושג "בעיית אפולוניוס" מתייחס לצירוף זה בלבד. בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה.

אטם אפולוניוס

אטם אפולוניוס

אטם אפולוניוס הוא פרקטל שתחילת יצירתו בשלושה מעגלים שכל אחד מהם משיק לשני האחרים, ובהדרגה נוספים עוד מעגלים, שכל אחד מהם משיק לשלושה מעגלים אחרים.

מעגלי מלפאטי

מעגלי מלפאטי

מעגלי מלפאטי הם שלושה מעגלים הנמצאים בתוך משולש כך שכל אחד מהם משיק לשני המעגלים האחרים ולשתיים מצלעות המשולש. בעיית הבנייה של מעגלים אלה קרויה על שם המתמטיקאי האיטלקי בן המאה ה-18 ג'אן פרנצ'סקו מלפאטי (אנ') שעסק בבעיה ושיער (בטעות) שבנייה זו תיתן פתרון לדרישה לבנות שלושה מעגלים בתוך משולש כך ששטחם יהיה מרבי.

משפט ששת המעגלים

משפט ששת המעגלים

משפט ששת המעגלים עוסק בשרשרת של שישה מעגלים ובמשולש, כך שכל אחד מששת המעגלים משיק לשתיים מצלעות המשולש וגם למעגל הקודם לו בשרשרת. השרשרת סגורה, כלומר המעגל השישי בה משיק למעגל הראשון.

מעגל תשע הנקודות

ארבעת המעגלים המשיקים למשולש

מעגל תשע הנקודות הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

• אמצעי הצלעות.
• עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות.
• אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך שמעגל זה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש: המעגל החסום במשולש ושלושת המעגלים המשיקים לכל אחת מצלעות המשולש ולהמשכי שתי הצלעות האחרות.

ראו גם

• המעגלים התאומים של ארכימדס
• עיגולי פורד

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעגלים משיקים בוויקישיתוף

• מעגלים משיקים, באתר MathWorld (באנגלית)