מספר לבג

בטופולוגיה, מספר לֶבֶּג של כיסוי פתוח של קבוצה במרחב מטרי, הוא המספר δ הגדול ביותר שכל תת-קבוצה שלה שקוטרה קטן ממנו, מוכלת באחד ממרכיבי הכיסוי. לפי הלמה של לבג, לכל כיסוי פתוח של קבוצה קומפקטית יש מספר לבג חיובי ממש. את הלמה הוכיח המתמטיקאי אנרי לבג.

ערך מחפש מקורות

הוכחה

תהא ${\displaystyle X}$ קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle \,X}$. מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו ב-${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {A}}}$. לכל ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$, נגדיר ${\displaystyle \,C_{i}:=X\setminus A_{i}}$; אלו קבוצות סגורות. נגדיר פונקציה ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ לפי הנוסחה ${\displaystyle \,f(x):=\max _{i}d(x,C_{i})}$ (כאן d מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0).

כיוון ש-${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ הוא כיסוי, לכל נקודה ${\displaystyle x\in X}$ יש אינדקס i כך ש ${\displaystyle x\in A_{i}}$. כיוון ש${\displaystyle A_{i}}$ קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־ε-סביבה של ${\displaystyle x}$ מוכלת ב ${\displaystyle A_{i}}$, ואז ${\displaystyle \ f(x)\geq d(x,C_{i})\geq \epsilon >0}$. בפרט, הפונקציה ${\displaystyle \,f(x)}$ לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם מינימום. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.