מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ היא קבוצה של איברי חבורה ${\displaystyle G}$ אשר מתקבלת מהכפלת אברי ${\displaystyle H}$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ מהווה חלוקה של ${\displaystyle G}$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ בחבורה ${\displaystyle G}$ נקרא האינדקס של ${\displaystyle H}$ ב-${\displaystyle G}$, ומסומן ${\displaystyle [G:H]}$. אם ${\displaystyle G}$ סופית, אינדקס זה שווה ל-${\displaystyle [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}}$.

ערך מחפש מקורות

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה ${\displaystyle G=\{1,-1,i,-i\}}$ ותת-החבורה שלה ${\displaystyle H=\{1,-1\}}$. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא ${\displaystyle \{i,-i\}}$, והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית

תהא ${\displaystyle G}$ חבורה ותהא ${\displaystyle H\subseteq G}$ תת-חבורה שלה. יהא ${\displaystyle g\in G}$ איבר כלשהו, אז הקבוצה ${\displaystyle gH=\left\{gh|h\in H\right\}}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של ${\displaystyle H}$ ב-${\displaystyle G}$, והקבוצה ${\displaystyle Hg=\left\{hg|h\in H\right\}}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של ${\displaystyle H}$ ב-${\displaystyle G}$.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה ${\displaystyle H}$, המחלקות (מאותו צד) של ${\displaystyle H}$ מהוות חלוקה של ${\displaystyle G}$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם ${\displaystyle x\in g_{1}H\cap g_{2}H}$ אז לפי הגדרה קיימים ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ כך ש-${\displaystyle x=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}}$ ולכן ${\displaystyle g_{1}=g_{2}h_{2}h_{1}^{-1}}$. מכיוון ש-${\displaystyle h_{2}h_{1}^{-1}\in H}$, נובע ש-${\displaystyle g_{1}\in g_{2}H}$, ולכן ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של ${\displaystyle H}$ מהוות חלוקה של ${\displaystyle G}$. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה ${\displaystyle H}$ שווה למספר האיברים ב-${\displaystyle H}$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת ${\displaystyle H}$ מתקיים ${\displaystyle \forall g\,,gH=Hg}$, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: ${\displaystyle \{4\mathbb {Z} ,1+4\mathbb {Z} ,2+4\mathbb {Z} ,3+4\mathbb {Z} \}}$. נציגים לדוגמה מהמחלקה ${\displaystyle 1+4\mathbb {Z} }$ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה ${\displaystyle 3+4\mathbb {Z} }$ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

• מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)