למת רימן-לבג

במתמטיקה, לֶמת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L¹ מתאפסת באינסוף. ללֶמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.

יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הלֶמה

בהינתן ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ פונקציה מדידה, שהיא L¹ (כלומר: אינטגרל לבג של ${\displaystyle |f|}$ הוא סופי), אזי: $${\displaystyle \lim _{z\to \pm \infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-izx}\,\mathrm {d} x\right]=0}$$

כלומר, התמרת פורייה של ${\displaystyle f}$ שואפת ל-${\displaystyle 0}$ כאשר ${\displaystyle z}$ שואף לאינסוף.

לֶמה מקבילה

תהא ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו A_n ו-B_n מקדמי טור פורייה שלה. אזי:

$${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }A_{n}=\lim _{n\to \pm \infty }B_{n}=0}$$ניתן להכליל את הלֶמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות ${\displaystyle 2\pi }$ לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים פולינום טריגונומטרי${\displaystyle p(x)}$ כך ש- ${\displaystyle \forall x,|p(x)-f(x)|<\varepsilon }$ נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל ${\displaystyle f}$ (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים: ${\displaystyle \lim _{|n|\to \infty }{\widehat {f}}(n)=0}$).

קישורים חיצוניים

• למת רימן-לבג, באתר MathWorld (באנגלית)