חוק בראג

חוק בראג הוא חוק טבע שנוסח על ידי הפיזיקאי ויליאם לורנס בראג ב-1912, לאחר ניסויים בהם נחקרה האינטראקציה של קרני רנטגן או קרני נייטרונים עם גבישים, תופעה המכונה "עקיפה של קרני רנטגן" (או נייטרונים). החוק מציב תנאי על הזוויות שבהן תתקבל התאבכות בונה בין הקרניים המוחזרות מסריג גבישי.

למרות פשטותו, חוק בראג אישש את קיומם של חלקיקים תת-אטומיים ממשיים בסקלה האטומית, ובעיקר סיפק כלי חדש ועוצמתי לחקר מבנה הגבישים. בראג זכה בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1915 יחד עם אביו, ויליאם הנרי בראג, על עבודתם לקביעת מבנים גבישיים, החל במלח בישול, אבץ סולפיד ויהלום; ועל תרומתם לשיטה בכללותה, כולל ניסוח החוק על ידי בראג הבן, ופיתוח ספקטרומטר של קרני רנטגן ששימש למדידות על ידי בראג האב.

רקע

כאשר קרני רנטגן פוגעות באטום, הן גורמות לענן האלקטרונים שלו לנוע, בדומה לכל שדה אלקטרומגנטי. תנועת המטענים (האלקטרונים) גורמת לפליטה מחדש של גלים אלקטרומגנטיים באותה תדירות (פרט להרחבה קלה של טווח התדירויות, מסיבות שונות); תופעה זו ידועה בשם פיזור ריילי (או פיזור אלסטי). הגלים המפוזרים יכולים לעבור פיזור בעצמם, אך פיזור שניוני זה זניח ואין התייחסות אליו בחוק בראג. תהליך דומה קורה בפיזור של חלקיקים, כגון גלי נייטרונים מגרעיני האטומים, או על ידי אינטראקציית ספין קוהרנטית עם אלקטרון לא-מזווג. הגלים הנפלטים מתאבכים זה עם זה, התאבכות בונה או הורסת (גלים חופפים נסכמים לקבלת גל חזק יותר, או מקזזים אחד את השני במידה מסוימת, עד להרס הגל באופן מוחלט). התאבכות זו יוצרת תבנית עקיפה על גלאי או סרט צילום. ניתן לנתח את תבנית ההתאבכות לפי כללי העקיפה, ולקבל מידע לגבי הגורמים לפיזור הגלים - האטומים ומיקומם היחסי בגביש.

ניסוח מתמטי

לפי הסטייה בזווית, 2θ, מתקבלת התאבכות בונה (שמאל) או הורסת (ימין)

החוק מציב תנאי על הזוויות שבהן תתקבל התאבכות בונה בין הקרניים המוחזרות מהסריג:

$${\displaystyle n\lambda =2d\cdot \sin \theta \,}$$ כאשר:

• ${\displaystyle n}$ מספר שלם, המכונה סדר העקיפה.
• ${\displaystyle \lambda }$ אורך הגל של הקרן הפוגעת^[1].
• ${\displaystyle d}$ המרווח בין המישורים בסריג הגבישי.
• ${\displaystyle \theta }$ הזווית בין הקרן הפוגעת למישורים המפזרים.

תנאי זה שקול לכך שההפרש הפאזה בין הגלים המוחזרים הוא כפולה של ${\displaystyle 2\pi }$.

פיתוח

גל מונוכרומטי בודד, מכל סוג, פוגע בזווית θ במישורים מסודרים של נקודות סריג במרווח d אחד מהשני, כמוצג בשרטוט:

קיים הפרש באורך המסלול שעוברות שתי קרניים - הקרן שמוחזרת לאורך הקטע 'AC, והקרן המועברת, ואז מוחזרת לאורך הקטעים AB ו-BC. הפרש הדרכים: $${\displaystyle (AB+BC)-(AC')\,}$$

אם הפרש הדרכים שווה לכפולה של מספר שלם (n) של אורך גל (λ), אזי שני הגלים הנפרדים יגיעו לנקודה באותה הפאזה, ולכן יעברו התאבכות בונה. מתמטית:

$${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda \,}$$

בעזרת משפט פיתגורס ומההגדרה הטריגונומטרית של סינוס וקוסינוס, ניתן להראות כי:

$${\displaystyle AB={\frac {d}{\sin \theta }}\,}$$ וגם ${\displaystyle BC={\frac {d}{\sin \theta }}}$ וגם ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,}$

כמו כן ניתן להראות: $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta \,}$$

אם נאחד הכל, תוך שימוש בזהויות של פונקציות טריגונומטריות: $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

ואת הביטוי ניתן לפשט לקבלת חוק בראג: $${\displaystyle n\lambda =2d\cdot \sin \theta \,}$$

קשר למרחב ההופכי

כפי שמראה האיבר ${\displaystyle n\lambda }$, החוק מודד את מספר אורכי הגל הנכנסים בין שתי שורות אטומים, כלומר - מרחק הופכי. מקס פון לאואה פירש זאת נכונה בצורה וקטורית במשוואות לאואה.

אם ${\displaystyle {\vec {k_{i}}}}$ הוא וקטור הגל הפוגע, ו-${\displaystyle {\vec {k_{f}}}}$ הוא וקטור הגל המוחזר, קיים וקטור ${\displaystyle {\vec {G}}}$ בסריג ההופכי, המקיים ${\displaystyle {\vec {G}}={\vec {k_{f}}}-{\vec {k_{i}}}}$.

בשילוב תנאי הפיזור האלסטי ${\displaystyle |{\vec {k_{f}}}|=|{\vec {k_{i}}}|}$, ועם הצבת זווית הפיזור ${\displaystyle 2\theta }$, מתקבל חוק בראג. מושג הסריג ההופכי הוא מרחב פורייה של השריג הגבישי, והוא דרוש לטיפול מתמטי מלא של מכניקת גלים.

ראו גם

• סריג עקיפה
• עקיפת בראג

לקריאה נוספת

• W.L. Bragg, "The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17 (1914), 43–57.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חוק בראג בוויקישיתוף

הערות שוליים

1. גם לחלקיקים - כגון אלקטרונים, פרוטונים ונייטרונים - יש אורך גל, כפי שהראה לואי דה ברויי (ראו גם: השערת דה ברויי).