חוסר זיכרון (הסתברות)

בתורת ההסתברות, חוסר זיכרון הוא תכונה של התפלגויות, המתאר מקרים בהם ההתפלגות של "זמן המתנה" לקבלת מאורע מסוים אינה תלויה בזמן שחלף לקבלתו. כדי למדל התפלגות כזאת, יש "לשכוח" באיזה מצב המערכת נמצא בכל נקודת זמן; כלומר, ההסתברות למאורע מסוים אינה תלויה בהיסטוריה של התהליך. רק שתי התפלגויות הן חסרות זיכרון: ההתפלגות הגאומטרית הבדידה וההתפלגות המעריכית הרציפה.

דוגמאות

התפלגות בדידה

יהי ${\displaystyle X}$ המשתנה המקרי המוגדר כמספר הטלות קובייה הוגנת עד לקבלת הספרה ${\displaystyle 6}$. כלומר ${\displaystyle X\sim \mathrm {Geom} \left({\frac {1}{6}}\right)}$ (מתפלג גאומטרית עם פרמטר ${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$). מספר הטלות הקובייה אינו משפיע על ההסתברות לקבלת הספרה ${\displaystyle 6}$ בכל הטלה. גם אם הטלנו ${\displaystyle 10}$ הטלות למשל, בהטלה הבאה ההיסטוריה של תוצאות ההטלה הקודמות "נשכחת", וההסתברות לקבלת ${\displaystyle 6}$ היא שוב ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$.

התפלגות רציפה

יהי ${\displaystyle X}$ המשתנה המקרי המוגדר כמשך החיים של נורה חשמלית, כלומר הזמן שחולף מתחילת השימוש בה עד שהיא נשרפת. נניח שידוע שנורה נשרפת אחרי 1000 שעות הדלקה בממוצע, כלומר שתוחלת מספר השעות היא ${\displaystyle \mathrm {E} [X]=1000}$. אם אחרי 100 שעות הדלקה הנורה לא נשרפה, ההסתברות שתישרף ב-1000 השעות הבאות, כלומר כעבור 1100 שעות בסך הכל, זהה להסתברות שתישרף ב-1000 השעות הראשונות. זאת מההנחה, שבכל רגע ההסתברות שהנורה תישרף זהה, ללא תלות בגילה של הנורה. לכן אם היא פעלה זמן מסוים, ואחר כך הפעלנו אותה שוב, הזמן הממוצע בו תישרף מרגע ההדלקה לא משתנה. אנו אומרים ש-${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} \left({\frac {1}{1000}}\right)}$ (מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{1000}}}$).

הגדרה פורמלית

חוסר זיכרון של משתנה מקרי בדיד

יהי ${\displaystyle X}$ משתנה מקרי בדיד שמקבל ערכים אי שליליים. אומרים שהתפלגותו חסרת זיכרון אם לכל ${\displaystyle m,n\in \{0,1,2,\dots \}}$ מתקיים:

.${\displaystyle \Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n)}$.

כלומר, ההסתברות המותנית ש-${\displaystyle X}$ יקבל ערך גדול מ-${\displaystyle m+n}$ בהינתן שערכו גדול מ-${\displaystyle m}$, זהה להסתברות שיקבל ערך גדול מ-${\displaystyle n}$. בהתייחס לדוגמה שלעיל, ההסתברות שהקובייה תוטל יותר מ-${\displaystyle 10}$ פעמים עד שיתקבל ${\displaystyle 6}$ לראשונה אם יודעים שהיו כבר יותר מ-${\displaystyle 3}$ הטלות, זהה להסתברות שהיו יותר מ-${\displaystyle 7}$ הטלות: תוצאות ${\displaystyle 3}$ ההטלות הראשונות לא משפיעות על ההטלות הבאות אחריהן.

ההתפלגות הבדידה היחידה שחסרת זיכרון היא ההתפלגות הגאומטרית.

חוסר זיכרון של משתנה מקרי רציף

יהי ${\displaystyle \ X}$ משתנה מקרי רציף המקבל ערכים אי שליליים. אומרים שהתפלגותו חסרת זיכרון אם לכל ${\displaystyle t,s\geq 0}$ מתקיים:

${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>t)=\Pr(X>s).\,}$

אם נחזור לדוגמת הנורה, ההסתברות שהנורה תישרף כעבור יותר 1100 שעות אם ידוע שלא נשרפה ב-100 השעות הראשונות, זהה להסתברות שתישרף כעבור 1000 שעות: מכיוון שהנורה נשרפת ברגע אקראי, ${\displaystyle 100}$ השעות הראשונות לא משפיעות על ההסתברות שהנורה תישרף בנקודת זמן כלשהי אחריהן.

ההתפלגות הרציפה היחידה שחסרת זיכרון היא ההתפלגות האקספוננציאלית.