חוג האנדומורפיזמים

בתורת החוגים, חוג האנדומורפיזמים של חבורה אבלית או מודול ${\displaystyle M}$ הוא החוג הכולל את כל האנדומורפיזמים של המודול, כלומר, את כל ההעתקות ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ השומרות על מבנה המודול. תפקידו של חוג האנדומורפיזמים בתורת החוגים מקביל לזה של חבורת האוטומורפיזמים בתורת החבורות - האנדומורפיזמים הם הסימטריות של המודול, וחוג האנדומורפיזמים מקודד את הקשרים בין המבנה לבין הסימטריות שלו. מקובל לסמן את חוג האנדומורפיזמים של ${\displaystyle M}$ מעל ${\displaystyle R}$ ב-${\displaystyle \operatorname {End} (M_{R})}$.

אנדומורפיזם של חבורה אבלית הוא העתקה שומרת חיבור מן החבורה אל עצמה. כאשר מדובר במודול (שמאלי, מעל חוג ${\displaystyle R}$), נוספת הדרישה לכבד את פעולת הכפל בסקלר, כלומר ${\displaystyle f(ax)=af(x)}$ לכל ${\displaystyle a\in R}$. פעולת החיבור בחוג האנדומורפיזמים מוגדרת נקודתית, כלומר ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, והכפל הוא הרכבת פונקציות.

חוג האנדומורפיזמים ${\displaystyle S=\operatorname {End} (M_{R})}$ פועל בעצמו על המודול ${\displaystyle M}$, וכך ${\displaystyle M}$ הופך לבימודול מעל ${\displaystyle R}$ משמאל ו-${\displaystyle S}$ מימין. חזרה על בניה זו מייצרת את חוג האנדומורפיזמים ${\displaystyle {\hat {R}}=\operatorname {End} ({}_{S}M)}$ של ${\displaystyle M}$ מעל ${\displaystyle S}$, המצויד בהומומורפיזם טבעי ${\displaystyle \ R\rightarrow {\hat {R}}}$, שהוא שיכון אם המודול נאמן. אם המודול פשוט ונאמן, אז תמונת השיכון צפופה (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון).

כאשר ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle F}$, האידיאלים היחידים של חוג האנדומורפיזמים מגיעים מהגבלות על הממד של התמונה והגרעין של איברים. יש בניה כללית יותר המתאימה למודולים שיש להם תת-מודולים עיקריים: ${\displaystyle \ \Delta =\{f\in \operatorname {End} (M)|Ker(f)\subseteq _{e}M\}}$ הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי) בחוג האנדומורפיזמים.

מודולים שחוג האנדומורפיזמים שלהם מקומי נקראים מודולי LE. חוג האנדומורפיזם הוא מושלם למחצה אם ורק אם המודול הוא סכום ישר של מודולי LE.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים