הזהות הגמישה

באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות ${\displaystyle \ x(yx)=(xy)x}$ נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את הזהות הגמישה.

קשרים

מן הזהות הגמישה נובע שהאסוציאטור מקיים את המולטילינאריזציה ${\displaystyle \ (x,y,z)+(z,y,x)=0}$, ובמאפיין שונה מ-2, שתי הזהויות שקולות.

הזהות הגמישה שקולה לכך שהקומוטטור ${\displaystyle \ [L_{x},R_{x}]=0}$, כאשר ${\displaystyle \ L_{x}}$ ו- ${\displaystyle \ R_{x}}$ הן פעולות הכפל משמאל ומימין ב-x.

פיזור פעולת הכפל

אם A היא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל שדה F, עם פעולת כפל ${\displaystyle \ \cdot }$, אפשר להגדיר בה פעולת כפל חדשה, ${\displaystyle *}$, לפי ${\displaystyle \ x*y=\alpha x\cdot y+\beta y\cdot x}$, כאשר ${\displaystyle \ \alpha ,\beta \in F}$ הם קבועים. איבר היחידה של ${\displaystyle \ (A,\cdot )}$ נשאר איבר יחידה גם ביחס לפעולה החדשה, אם ${\displaystyle \ \alpha +\beta =1}$. אם ${\displaystyle \ \alpha \neq \beta }$, אפשר לשחזר את ${\displaystyle \ \cdot }$ מן הפעולה ${\displaystyle *}$, לפי הנוסחה ${\displaystyle \ x\cdot y=\alpha 'x*y+\beta 'y*x}$ כאשר ${\displaystyle \ \alpha '={\frac {\alpha }{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}},\quad \beta '={\frac {\beta }{\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}}$.

אם A גמישה ביחס לפעולה המקורית, אז היא גמישה גם ביחס לפעולה החדשה.

במאפיין שונה מ-2, מסמנים ב- ${\displaystyle \ A^{+}}$ את האלגברה הקומוטטיבית המתקבלת מההגדרה ${\displaystyle \ x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$, היינו ${\displaystyle \ \alpha =\beta ={\frac {1}{2}}}$. בפרט, אם A גמישה, אז גם ${\displaystyle \ A^{+}}$ גמישה (אם כי ההפך אינו בהכרח נכון).

מיון

במאפיין אפס, אם A גמישה ופשוטה למחצה, אז ${\displaystyle \ A^{+}}$ אלגברת ז'ורדן.

בכל מאפיין שונה מ-2, אם A גמישה ופשוטה, ו-${\displaystyle \ A^{+}}$ אלגברת ז'ורדן פשוטה, אז מתקיים אחד משלושת התנאים הבאים: (1) A היא אלגברת ז'ורדן פשוטה; (2) A היא אלגברה ריבועית עם תבנית נורמה לא מנוונת, או (3) A היא "אסוציאטיבית למחצה": קיימת K/F ריבועית, כך ש- ${\displaystyle \ A\otimes _{F}K=B_{\lambda }}$, כאשר B אלגברה פשוטה אסוציאטיבית מרכזית מעל K, והכפל ב- ${\displaystyle \ B_{\lambda }}$ מוגדר על ידי פיזור הכפל של B: ${\displaystyle \ x*y=\lambda xy+(1-\lambda )yx}$.