Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
השערת הודג' (קרויה על שם וויליאם הודג') היא השערה מרכזית בגאומטריה אלגברית ואחת מ-7 בעיות המילניום של מכון קליי. ההשערה עוסקת בקשר בין הגאומטריה של אוסף הפתרונות למערכת משוואות פולינומית מסוימת לבין מערכות משוואות שמכילות את מערכת המשוואות הנתונה.
יריעה אלגברית פרויקטיבית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף כלשהו של פולינומים הומוגנים. אומרים שהיריעה חלקה אם היא יריעה חלקה במובן של גאומטריה דיפרנציאלית.
תהא יריעה פרויקטיבית חלקה. כל תת-יריעה פרויקטיבית (לאו דווקא חלקה) מגדירה מחלקת קוהומולוגיה , כאשר הוא הקו-ממד של ב-.
הודג' הוכיח שחבורות הקוהומולוגיה של עם מקדמים מרוכבים מתפרקות לסכום ישר מהצורה
כאשר תת-המרחב מכיל את מחלקות הקוהומולוגיה שמיוצגות על ידי תבניות הרמוניות מטיפוס . אפשר להראות שלכל תת-יריעה מקו-ממד , מחלקת הקוהומולוגיה שייכת לתת המרחב . השערת הודג' היא שמחלקות הקו הומולוגיה של תתי יריעות לא נמצאות בתת-מרחב קטן יותר.
השערת הודג': אם יריעה פרויקטיבית חלקה, אז, לכל , תת-המרחב נפרש על ידי מחלקות הקוהומולוגיה של תתי היריעות של .
1. המקרה נובע ממשפט של סולומון לפשץ. המקרה נובע מזה וממשפט לפשץ החזק. בפרט, ההשערה נכונה עבור יריעות מממד קטן מ-4.
2. חוג הקוהומולוגיה של יריעה אבלית גנרית נוצר על ידי חבורת הקוהומולוגיה השנייה (שעבורה ההשערה נכונה) ומכאן נובע שההשערה נכונה עבור יריעות אבליות גנריות.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.