העתקה מקבילה

העתקה מקבילה או הובלה מקבילה (באנגלית: Parallel transport)(לעיתים מכונה גם בשם הזזה מקבילית או טרנספורט מקבילי) הוא מושג בגאומטריה המתאר פעולה של גרירה של וקטור לאורך עקומה ללא שינוי אורכו או כיוונו יחסית למרחב. במרחב שטוח, הווקטור המובל יישאר זהה בגודלו וכיוונו לווקטור המקורי, בכל נקודה לאורך המסלול. במרחב עקום התוצאה עשויה להיות שונה, כתלות בעקמומיות המקומית. הזזה מקבילית משמשת על כן כאחת השיטות למדידת עקמומיות של מרחב.

העתקה מקבילה של ווקטור לאורך לולאה סגורה (מ-A ל-N ל-B ובחזרה ל-A) על כדור. הזווית שבה הכיוון שלו משתנה יחסית למרחב העקום, ${\displaystyle \alpha }$, פרופורציונלית לשטח הלולאה.

באופן פורמלי, אם ${\displaystyle x^{\mu }(\lambda )}$ עקומה על יריעה חלקה ו-${\displaystyle {\vec {V}}=V^{\mu }{\hat {e}}_{\mu }}$ וקטור, אזי אנו דורשים ש-${\displaystyle V}$ יישאר קבוע, כלומר: הנגזרת הקו-ואריאנטית שלו תהייה שווה לאפס. במשוואה:

${\displaystyle \forall \nu \$ :\ \nabla _{{\vec {dx^{\mu }}}/d\lambda }{\vec {V}}=0}

או ברכיבים

${\displaystyle \forall \nu \$ :\ {\frac {dV^{\nu }}{d\lambda }}={\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}\nabla _{\mu }V^{\nu }}

במרחב עקום, אם נבצע הזזה מקבילית של וקטור לאורך לולאה סגורה לא נקבל בסוף בהכרח את אותו וקטור שהתחלנו איתו. למעשה, ההפרש בין 2 הווקטורים נובע מעקמומיות המרחב ועבור לולאה אינפיניטסימלית הוא פרופורציונלי לטנזור העקמומיות של רימן המתאר את העקמומיות בנקודה שבתוך הלולאה. העתקות אלו יוצרות את חבורת ההולונומיה של המרחב בנקודה בה מתחילה ונגמרת הלולאה.

עקומה המבצעת הזזה מקבילית לווקטור המשיק של עצמה נקראת גאודזה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקה מקבילה בוויקישיתוף

• העתקה מקבילה, באתר MathWorld (באנגלית)

לקריאה נוספת

• Carmo, Manfredo Perdigão do., Differential geometry of curves and surfaces. United Kingdom: Prentice-Hall, 1976. (p. 238)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.