פונקציה הולומורפית

פונקציה הולומורפית (לעיתים נקראת גם פונקציה רגולרית) היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה. אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.

ערך מחפש מקורות

תמונתה של רשת מלבנית תחת העתקה קונפורמית. כל פונקציה הולומורפית שנגזרתה איננה מתאפסת בנקודה כלשהי היא קונפורמית בה היא העתקה משמרת זווית בין עקומים.

ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה בין קבוצות קשירות ופתוחות במישור המרוכב, שקיימת לה נגזרת מרוכבת בסביבת כל נקודה בתחומה.

הגדרה פורמלית

תהא ${\displaystyle \ U\subseteq \mathbb {C} }$ קבוצה פתוחה וקשירה במישור המרוכב. תהא ${\displaystyle \ f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ פונקציה מרוכבת. נאמר ש-${\displaystyle \ f}$ גזירה במובן המרוכב בנקודה ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$ אם קיים הגבול

${\displaystyle \ f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$   (1)

העניין החשוב בהגדרה הזו היא שהגבול (1) "חופשי" מבחירת המסלול שיעשה המשתנה ${\displaystyle z}$ בדרכו לנקודה ${\displaystyle z_{0}}$, דהיינו שהגבול (1) אכן קיים כאשר ${\displaystyle |z-z_{0}|}$ שואף לאפס.^[1]

קיום הגבול (1) הוא מצב שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את ${\displaystyle f(z)}$ – אלו הן משוואות קושי-רימן – ועל ידי תכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את ${\displaystyle \ f}$.

אם הפונקציה ${\displaystyle \ f}$ גזירה בכל נקודה ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה ${\displaystyle \ U}$. ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא: ${\displaystyle \ f}$היא הולומורפית בנקודה ${\displaystyle \ z_{0}}$ אם היא גזירה ב-${\displaystyle \ z_{0}}$ובסביבה של ${\displaystyle \ z_{0}}$. שקילות שני הניסוחים נובעת ממשמעות מושג הקבוצה הפתוחה: קבוצה פתוחה היא קבוצה בה לכל נקודה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.^[2]

טרמינולוגיה

המונח "הולומורפיות" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי^[3], בריו (אנ') (1817–1882) וז'אן-קלוד בוקה (אנ') (1819–1885), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב־μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה. כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, אף על פי שהאחרון הוא מושג כללי יותר.^[4]

מבוא

מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת הכיוונית בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור שני המשתנים הממשיים – משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי-רימן^[5].

האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית. פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות. אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת. מתוך משפט האינטגרל של קושי-גורסה הוסק שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית מרוכבת, ומכך נובע שהיא גזירה אינסוף פעמים, ולכן גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית. יתרה מזאת, יש לה יצוג כטור חזקות. גם המשפט ההפוך נכון; כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ולכן במסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. אמנם לא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית בהיסטוריה של האנליזה המרוכבת.

חשיבותן של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה נובעת מכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים, הן הולומורפיות. כך למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט, פונקציית הזטא של רימן, ואף העתקות קונפורמיות (משמרות זווית) במישור^[6] – כולן פונקציות הולומורפיות. משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.

פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.

דוגמאות

כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט ${\displaystyle \ e^{z}}$, ופונקציות הקוסינוס והסינוס המרוכבות ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})}$ ו־${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i(e^{iz}-e^{-iz})}$. הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.

כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן ${\displaystyle \ z\mapsto {\mbox{Re}}(z),z\mapsto {\mbox{Im}}(z),z\mapsto {\bar {z}}}$ ו-${\displaystyle z\mapsto \operatorname {Arg} (z)}$ כאשר Arg היא פונקציית הארגומנט הראשי.

דוגמה נוספת היא הפונקציה ${\displaystyle \textstyle z\mapsto {\frac {1}{z}}}$. פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה ${\displaystyle \ z_{0}=0}$, (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה ${\displaystyle \ \mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}}$. עם זאת, קיים הגבול ${\displaystyle \lim _{z\to 0}\textstyle {\frac {1}{z}}=\infty }$. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה פונקציה מרומורפית באותו התחום.

קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה ${\displaystyle \ e^{\frac {1}{z}}}$ אין כלל גבול בנקודה ${\displaystyle \ z=0}$. נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת – לפי המשפט הגדול של פיקאר, אם ${\displaystyle \ f}$ פונקציה הולומורפית בתחום, ו־${\displaystyle \ z_{0}}$ סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של ${\displaystyle \ z_{0}}$ היא ${\displaystyle \mathbb {C} }$ כולה, למעט אולי נקודה אחת.

תכונות

הדגמה של תכונת הקונפורמיות. מוצגות שתי מסילות ישרות ותמונותיהן תחת ההעתקה ${\displaystyle f(z)=i\cdot z^{3}}$. ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן

• פונקציה הולומורפית היא רציפה.
• סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
• מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
• כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
• ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום. זאת לפי נוסחת האינטגרל של קושי.
• פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם נקודת הצטברות. זהו משפט היחידות.
• פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית – היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה-${\displaystyle n}$ מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי ${\displaystyle \ n}$.
• עקרון המקסימום – פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (בערך מוחלט) בפנים התחום, אלא רק על שפתו.

אנליטיות

תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מנוסחת האינטגרל של קושי. די להראות זאת סביב 0. אם ${\displaystyle f}$ הולומורפית בעיגול ${\displaystyle D}$, אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל ${\displaystyle z}$ בפנים של ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w}$

מכיוון ש-${\displaystyle \left|{z \over w}\right|<1}$ אפשר לפתח את ${\displaystyle 1 \over w-z}$ לטור הנדסי ולקבל:

${\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w={1 \over 2\pi i}\oint _{\partial D}f(w)\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over w^{n+1}}\,\mathrm {d} w=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(w) \over w^{n+1}}\,\mathrm {d} w}$

כאשר ההתכנסות במידה שווה מובטחת ממבחן M של ויירשטראס. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(w) \over w^{n+1}}\,\mathrm {d} w=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}}$

כלומר טור טיילור של ${\displaystyle f}$ מתכנס אליה.
מ.ש.ל

פונקציה מרובת משתנים

באופן אנלוגי לאמור לעיל, ניתן להגדיר להכליל את המושג פונקציה הולומורפית לפונקציה של כמה משתנים. פונקציה ${\displaystyle f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ ב ${\displaystyle n}$ משתנים היא אנליטית בסביבה p אם קיימת סביבה של p שבה ${\displaystyle f}$ שווה לטור חזקות מתכנס ב-${\displaystyle n}$ משתנים מרוכבים.^[7] ${\displaystyle f}$ היא הולומרפית בתחום פתוח U של ${\displaystyle C^{n}}$ אם היא אנליטית בכל נקודה ב U. הלמה של אוסגוד (Osgood's lemma) מראה כי לפונקציה רציפה ${\displaystyle f}$, התנאי לעיל שקול לכך ש${\displaystyle f}$ הולומורפית לכל משתנה בנפרד. משפט הרטוגס (Hartogs's theorem) מוכיח שהנחת הרציפות אינה הכרחית: פונקציה ${\displaystyle f}$ היא הולומורפית אם ורק אם היא הולומורפית בכל אחד מהמשתנים שלה בנפרד.

ראו גם

• פונקציה אנליטית
• פונקציה מרומורפית
• פונקציה אנטי-הולומורפית

קישורים חיצוניים

• פונקציה הולומורפית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Henry C. Thacher, Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Mathematics of Computation 31, 1977-01, עמ' 325 doi: 10.2307/2005805
2. Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) Complex Analysis Springer Science & Business Media
3. מהמייסדים הבולטים של האנליזה המרוכבת
4. Analytic function - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org
5. אך לא בהן בלבד. על הפונקציה הממשית הזו להיות גם דיפרנציאבילית. ניתן להגיע למשוואות ללא קושי רב אם לוקחים בחשבון שפונקציה הולומורפית היא כזו שנגזרתה בנקודה כלשהי איננה תלויה במסלול שעושה המשתנה בדרכו לנקודה, והקורא עשוי למצוא עניין בלגלות את המשוואות בכוחות עצמו.
6. כאשר ההעתקה היא בין שני תחומים פשוטי קשר פתוחים במישור.
7. Gunning and Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, p. 2.