גל מרובע

גל ריבועי הוא אות מחזורי לא סינוסואידי, בו האמפליטודה הזמנית נעה בתדר קבוע בין שני ערכים בדידים וקבועים, כאשר בכל מחזור של הגל האמפליטודה תהיה במהלך חצי מהמחזור בערך אחד וחצי מהמחזור בערך השני (מחזור פעולה של 50%). לכן זהו מקרה פרטי של רכבת פולסים בה אין אילוץ כזה על היחס בין משכי הזמן של שני הערכים.

אות סינוסואידי, אות ריבועי, אות משולש ואות גל־שן־מסור.

ערך מחפש מקורות

במערכת אידיאלית, המעבר בין הערכים הוא מיידי ללא תופעות מעבר. מכיוון שדבר זה אינו אפשרי במערכות פיזיקליות, מתייחסים לאות שבו זמן תופעות המעבר קטן בכמה סדרי גודל מהזמן היציב בשני הערכים הקבועים כאות ריבועי.

גלים ריבועיים משמשים לעיתים קרובות באלקטרוניקה דיגיטלית ובעיבוד אותות דיגיטליים, שכן הם מציגים מקרה מנוון של מערכת בינארית ושל מעגלי מיתוג.

הגדרה

ניתן להגדיר גל ריבועי בעל זמן מחזור ${\displaystyle T}$ ואמפליטודה ${\displaystyle A}$ בעזרת שימוש בפונקציית הסימן:^[1] ${\displaystyle x(t)=A\cdot sign[\sin({\frac {2\pi t}{T}})]=A\cdot sign[\sin(2\pi ft)]}$ כאשר ${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$ הוא תדר הגל.

דרך נוספת בה ניתן להגדיר את הגל הריבועי היא בעזרת שימוש בפונקציית המדרגה של הביסייד: ${\displaystyle x(t)=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }[u({\frac {t}{T}}-n)-u({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}})]-1}$, הפעם האמפליטודה היא ${\displaystyle A=1}$.

אנליזת פורייה

מכיוון שהאות מחזורי בזמן T ומקיים את התנאי ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {L}}^{2}[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}]}$, ניתן לייצג אותו במדויק על ידי טור פורייה, כסכום אינסופי של אותות סינוסואידים:

${\displaystyle x(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi (2k-1)ft)}{2k-1}}={\frac {4}{\pi }}(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\cdots )}$, כאשר התדירות מסומנת על ידי ${\displaystyle \omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}}$. קיטום הטור האינסופי לטור סופי של N איברים מציג קירוב אשר מדגים היטב את תופעת גיבס.

טור פורייה של גל ריבועי בעל מספר איברים גדל, מדגים את תופעת גיבס ב"אזניים" שנוצרות בקצוות הגל הריבועי.

מכיוון שהתמרת פורייה היא ליניארית והתמרת הסינוס פשוטה מאוד: ${\displaystyle {\mathcal {F}}[sin(\omega _{0}t)](f)=-i\pi (\delta (f-\omega _{0})-\delta (f-\omega _{0}))}$, כש${\displaystyle \delta (f)}$ היא פונקציית דלתא של דיראק, נוכל לחשב את התמרת פורייה של הגל הריבועי כהתמרת טור פורייה שלו: ${\displaystyle {\mathcal {F}}[x](f)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {{\mathcal {F}}[\sin({\frac {2\pi (2k-1)}{T}}t)]}{2k-1}}]=-4i\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {\delta (f-{\frac {2\pi (2k-1)}{T}})-\delta (f+{\frac {2\pi (2k-1)}{T}})}{2k-1}}]}$.

ניתן לראות כי ההתמרה היא רכבת הלמים הדועכת ככל שמתרחקים מתדר האפס.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גל מרובע בוויקישיתוף

• גל מרובע, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Eric W. Weisstein, Square Wave, mathworld.wolfram.com (באנגלית)