גל כדורי

גל כדורי הוא גל בעל חזית גל בצורת שפת כדור בשלושה ממדים. דוגמאות לגלים כדוריים הן השדה האלקטרומגנטי של מקור אור נקודתי ושל משדר איזוטרופי קטן, או תוצאת עקיפה בפגיעת גל מישורי במחסום בעל מיפתח נקודתי.

גל כדורי

גל כדורי מקיים את משוואת הגלים, שבקואורדינטות כדוריות ניתנת לכתיבה כך:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}y({\vec {r}},t)+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}y({\vec {r}},t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}y({\vec {r}},t)}$

כאשר ${\displaystyle {\vec {r}}}$ וקטור ההעתק, ${\displaystyle r=|{\vec {r}}|}$ הגודל שלו, ${\displaystyle t}$ הזמן ו-${\displaystyle v}$ מהירות הפאזה.

הפתרון היסודי של המשוואה הוא:

${\displaystyle y({\vec {r}},t)={\frac {Ae^{i(kr-\omega t)}}{r}}\,}$

כאשר A קבוע, i היחידה המדומה, ${\displaystyle \omega }$ התדירות הזוויתית של הפתרון ו-k נקרא מספר הגל והוא מקיים: ${\displaystyle \ \omega =vk}$. בכל רגע נתון, חזית הגל - המשטח שווה המופע שעל פניו ${\displaystyle \ y({\vec {r}})}$ קבוע, הוא המקום הגאומטרי בעל r קבוע - שפת כדור. המשטחים שווי המופע נעים בזמן במהירות קבועה${\displaystyle v}$ ובכיוון הרדיאלי. ערך הגל, הבוקע מראשית הצירים, הולך וקטן ככל שמתרחקים מהראשית.

מאחר שמשוואת הגלים היא הומוגנית, גם צירוף ליניארי של פתרונות בעלי תדירויות זוויתיות שונות ומשרעת שתלויה בתדירות הזוויתית הוא פתרון. הפתרון הפשוט ביותר הוא גל סינוסי כדורי המתואר על ידי:

${\displaystyle y(r,t)={\frac {A}{r}}\sin(kr-\omega t)}$

גל כזה יכול לתאר מקור אור מונוכרומטי נקודתי, אנטנה קטנה המשדרת בתדירות קבועה או רמקול קטן המשדר גל קול בגובה קבוע. גלים כאלה בוקעים מאזור קטן במרחב, מתפזרים לכל הכיוונים במידה שווה ועוצמתם קטנה ככל שמתרחקים מהמקור.

פתרון נוסף למשוואה הוא גל כדורי המתכנס לנקודה, המתואר על ידי:

${\displaystyle y({\vec {r}},t)={\frac {Ae^{i(-kr-\omega t)}}{r}}\,}$

דוגמה לגל כזה הוא גל מישורי הפוגע בעדשה מרכזת וכתוצאה מכך מתכנס למוקד העדשה.

פתרון נפוץ למשוואת הגלים של גל כדורי הוא פונקציית בסל