בליסטיקה

בליסטיקה ("השלכה" בלטינית) היא תורה העוסקת בתנועתם והתנהגותם של גופים חסרי הנעה עצמית, כאשר הם אינם מצויים במנוחה. תנועתם של גופים אלה מושפעת על ידי כוח הכבידה של כדור הארץ ואפקטים אווירודינמיים.

הניסוי המחשבתי של אייזק ניוטון, בו משגרים כדור תותח, בהשראת ספרו: פרינקיפיה - "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע"

לתורה זו שימושים רבים, במיוחד בתחום הצבאי בחישוב מסלולם של קליעים הנורים מכלי ירייה כגון רובה או תותח.

מקור השם

המילה בליסטיקה נגזרת מהמילה היוונית ballistēs, שמשמעותה: 'לזרוק'. כלי לחימה קדום להשלכת אבנים בעת מצור, שהשימוש בו החל בעיקר בתקופה היוונית, נקרא: בליסטרה, והאבנים שהשליך נקראו: אבני בליסטראות.^[1]

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

התוצאה המשמעותית הראשונה בתחום הבליסטיקה בעת החדשה היא של גלילאו גליליי, אשר גילה שכדורים שנזרקים במהירויות נמוכות יחסית נעים במסלול פרבולי. תוצאה זו נכונה לכל קליע בהיעדר תווך שיוצר התנגדות ובשדה כבידה אחיד.

פיתוח החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 נתן דחיפה ראשונית חזקה להתפתחות היכולת לבצע חישובים בליסטיים, משום שהכלים החזקים של החשבון האינפיניטסימלי אפשרו לראשונה לקחת בחשבון את האפקט של התנגדות האוויר על תנועת קליעים, ובכך לחזות את מסלול הקליע ונקודת פגיעתו בדיוק רב יותר. המצב החדש הזה של התחום הודגם בכרך השני של ספרו המונומנטלי של אייזק ניוטון פרינקיפיה - "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", אשר פרץ דרך בתחום התאוריה של הבליסטיקה. ניוטון דן בכרך זה בחוקי גרר שונים שייתכנו - תחילה הוא דן בגרר שיחסי למהירות ולאחר מכן בגרר שיחסי למהירות בריבוע (ומציין שהאחרון תקף יותר במהירויות גבוהות). הממצאים המופיעים בספר כוללים חישובים מפורטים ופתרונות מתמטיים למסלולים שיתוו קליעים במהירויות גבוהות. בין היתר מביא ניוטון את התוצאה שהמסלול שמתווה קליע כשהגרר הפועל עליו יחסי למהירותו הוא עקום לוגריתמי. ניוטון לא הצליח לפתור באופן מלא את הבעיה הסבוכה בהרבה של תיאור המסלול שמתווה קליע כאשר פועל עליו חוק הגרר הריבועי, אך הציע שיטת קירוב יעילה למסלול המתקבל, באמצעות היפרבולות. אחת הטענות המרכזיות בפרינקיפיה היא^[2] שמסלול קליע שפועל עליו גרר ריבועי מתנהג בדומה מאוד להתנהגות של עקום היפרבולי - ניוטון מראה כי המסלול קרוב יותר להיפרבולה מאשר לפרבולה. ניוטון גם מצא כיצד צריך להתנהג פרופיל הצפיפות של התווך (כלומר הצפיפות בתלות בגובה) כדי להפיק קבוצה של מסלולים מסוימים (כשמניחים חוק גרר ריבועי).

יוהאן ברנולי מצא ב-1718 את הפתרון היסודי לבעיה של תיאור המסלול של קליע כשפועל עליו גרר הפרופורציונלי לכל חזקה n שהיא של המהירות. כיוון שרוב המודלים העתידיים שפותחו הניחו תלות מקורבת של הגרר בחזקה כלשהי של המהירות, פתרון זה הניח את היסודות למרבית ההתפתחויות והחישובים הבליסטיים שנעשו בעתיד.

ענף הבליסטיקה המשיך להתפתח משמעותית במאה ה-18, בעיקר על ידי לאונרד אוילר ובנג'מין רובינס.

ההתפתחויות המשמעותיות בתחום האווירודינמיקה במאה ה-19 ובמאה ה-20 עזרו רבות למדל את חוקי הגרר הפועלים על קליעים במהירויות שוניות, תת-קוליות ועל-קוליות כאחד. התנהגות הגרר מורכבת מהרבה ממה שציפו במאות ה-17 וה-18, והחוק המתמטי שמתאר אותו אינו ליניארי או ריבועי במהירות.

במישור הטכנולוגי היכולת לבצע חישובים בליסטיים ולייצר טבלאות בליסטיות התפתחה בצעד ענק בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20, כאשר מומחים לבליסטיקה החלו היעזר במכונות חישוב כדי לייצר טבלאות בליסטיות. ההתפתחות הזאת הגיעה לשיא במלחמות העולם, בהן מחשבים שימשו לא רק לצורך הכנת טבלאות בליסטיות, אלא גם להנחיה אוטומטית וישירה של ירי תותחים (ראו גם שולחן בקרת אש).

תאוריה פיזיקלית

מתוארת תנועה בעלת מהירות התחלתית אופקית ואנכית כלפי מעלה, ולאחר הגעה לשיא הגובה - נפילה חופשית. בשדה כבידה אחיד. התנועה לאורך פרבולה.

המקרה הפשוט ביותר נקרא נפילה חופשית, שבמסגרתה פועל על הגוף כוח הכובד בלבד. כדי לבצע חישובים בבליסטיקה במקרה זה, ניתן לפרק את המהירות ההתחלתית של הגוף לציר ה-x ולציר ה-y, בו פועל כוח הכובד. לאחר פירוק זה, ניתן לחשב את כל הנתונים בתנועתו על ידי משוואות הקינמטיקה הבסיסיות:

• ${\displaystyle \ x(t)=x_{0}+v_{x,0}t}$
• ${\displaystyle \ y(t)=y_{0}+v_{y,0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$

כאשר נתייחס לציר ה-y, תאוצת הגוף היא ${\displaystyle \ a=-g\approx -9.81{\mbox{m sec}}^{-2}}$ (תאוצת נפילה חופשית), וה-v_y,0 שווה ל-v₀sin α כאשר α היא זווית שיפוע הזריקה. לעומת זאת, כאשר נתייחס לציר ה-x, התאוצה תהיה שווה לאפס, ו-v_x,0 יהיה שווה ל-v₀cos α כאשר α היא זווית שיפוע הזריקה.

מבוא לבליסטיקה

פיתוח מתמטי: נפילה חופשית עם התנגדות אוויר

באיור מוראה בכחול גרף של פונקציית הטנגנס ההיפרבולי, המתאר את מהירותו של עצם הנופל נפילה חופשית. יש לה אסימפטוטה אופקית y = 1. בבעיית הנפילה החופשית הטנגנס ההיפרבולי מוכפל במהירות הטרמינלית, ועל כן יש לו אסימפטוטה אופקית ${\displaystyle y=V_{terminal}={\sqrt {g/C_{0}}}}$>

הכוחות הפועלים על גוף הנזרק מהקרקע במהירות גבוהה הם כובדו העצמי, והתנגדות האוויר שאינה ניתנת עוד להזנחה במהירויות גבוהות. התנגדות האוויר שווה מחוקי ניוטון לקצב שבו הגוף מעביר את התנע שלו לאוויר, כלומר לקצב שבו משתנה התנע של האוויר מסביב לגוף עקב תנועתו. קצב זה ניתן במשוואת הגרר המפורסמת: ${\displaystyle F_{Drag}={\frac {1}{2}}C_{D}\rho SV^{2}}$, כש-V מהירות העצם, S שטח החתך שלו בניצב לתנועה, ${\displaystyle \rho }$ צפיפות האוויר ו${\displaystyle C_{D}}$ הוא מקדם הגרר שתלוי בגאומטריה של העצם.

תנועה מטה: המשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את תנועת העצם, כשהוא בתנועה מטה היא:

${\displaystyle {\dot {V}}(t)=g-{\frac {1}{2}}C_{D}\rho S/mV(t)^{2}=g-C_{0}V(t)^{2}}$.

כדי לפתור את המשוואה נשים לב לדמיון בינה לזהות ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\tanh }(x)+\tanh ^{2}(x)=1}$, מה שמצביע שהפתרון למהירות הוא קבוע כפול טנגנס היפרבולי של קבוע כפול הזמן.

הפתרון למשוואה הוא:

${\displaystyle V(t)={\sqrt {g/C_{0}}}\operatorname {tanh} \left({\sqrt {gC_{0}}}t\right)}$, כאשר ${\displaystyle {\sqrt {g/C_{0}}}}$ הוא המהירות באינסוף של נפילת העצם, המכונה המהירות הטרמינלית (terminal velocity).

תנועה מעלה:

המשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את תנועת העצם כשהוא בתנועה מעלה היא: ${\displaystyle {\dot {V}}(t)=g+{\frac {1}{2}}C_{D}\rho S/mV(t)^{2}=g+C_{0}V(t)^{2}}$. הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הוא:

${\displaystyle v_{y}(t)={\sqrt {\frac {g}{C_{0}}}}\tan \left(\arctan({\sqrt {\frac {1}{C_{0}g}}}v_{y_{o}})-{\sqrt {gC_{0}}}t\right)}$.

מסלול בליסטי

כדי לנתח מסלול בליסטי של עצם לא מסתחרר נדרש לפתח את משוואות התנועה בכל אחד מהצירים, תוך הבחנה ששטח החתך ומקדם הגרר המתאים לכל ציר קבוע אולם עשוי להיות שונה (עבור עצמים מסתחררים שטח החתך בכל ציר משתנה במהלך הסיבוב. בנוסף, על גופים מסתחררים פועלים אפקטים אווירודינמיים נוספים.) לא נפרט את הפיתוח, אולם נציין שזמן התנועה והטווח המתקבל עבור כדור במהירות התחלתית ${\displaystyle v_{0}}$ וזווית ${\displaystyle \theta }$ הוא:

${\displaystyle T=t_{ascend}+t_{descend}={\sqrt {\frac {1}{gC_{0}}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {C_{0}}{g}}}v_{y_{o}}\right)+{\sqrt {\frac {1}{gC_{0}}}}\operatorname {arccosh} \,\left(e^{hC_{0}}\right)}$

${\displaystyle R={\frac {1}{C_{0}}}(\ln \left(C_{0}Tv_{0}\cos \theta +1\right))}$. הטווח המקסימלי לפיכך מתקבל כש-${\displaystyle T\cos \theta }$ מקסימלי.

שערוך מסלול בליסטי בעזרת מחשב

ניתן לשערך מסלול בליסטי של פגז גם באמצעות אלגוריתם איטרטיבי על וקטורים תלת־ממדיים. הדבר נעשה באמצעות חלוקת מסלול הפגז למשכי זמן ΔT בהם המהירות קבועה לכאורה ולאחר מכן סכימה על וקטורי ההעתק שנתקבלו. ΔT היא יחידת זמן בחישוב ונקבעת על פי דרגת הדיוק הנדרשת מחיזוי מיקום נפילת הפגז. פרוצדורה זאת טובה יותר לחישובים עבור מסלולים בעלי שיא גבוה בהם שינוי צפיפות האוויר משמעותי (עקב פרופיל הצפיפות המעריכי של האטמוספירה).

מסלולים של שלושה עצמים שנזרקו באותה זווית (70°). העצם השחור לא חווה כל סוג של גרר שהוא ונע לאורך פרבולה. העצם הכחול חווה גרר שפרופורציונלי למהירות, והעצם הירוק חווה גרר שפרופורציונלי לריבוע המהירות (גרר ניוטוני). מסלול רקטי, שאינו מתואר באיור, הוא בעל אסימטריה בולטת אף יותר מאשר מסלול של פגז, שכן מנוע הדחף של הרקטה ממשיך לפעול במשך זמן מה לאחר שיגור הרקטה. חישוב המסלול המתואר כאן מתייחס לעצם שחווה גרר ניוטוני.

שערוך המסלול

התוכנה מקבלת כקלט וקטור מהירות Vn ומחזירה כפלט וקטור מהירות חדש Vn+1 בהתאם לאיטרציה הבאה:

Vn+1 = (Vn,x(1-ρsІVnІ *ΔT/m) ,Vn,y(1- ρsІVnІ *ΔT/m),Vn,z(1- ρsІVnІ *ΔT/m)-g ΔT).

כאשר m מסת הפגז ו-s שטח החתך שלו. האיטרציה מתקבלת על ידי מציאת המתקפים המופעלים על ידי כח התנגדות האוויר וכח הכובד במשך הזמן ΔT.

${\displaystyle F_{D}=\rho SV^{2}}$ (כח התנגדות האוויר).

וכך הלאה Vn+2 = I(Vn+1) וכו'... במעיין אלגוריתם איטרטיבי לולאתי (תכנות לולאתי). עבור מסלולים בעלי שיא גבוה ניתן להתחשב גם בשינוי צפיפות האוויר במהלך המסלול ולהחליף את ρ ב-(ρ(z - פרופיל הצפיפות המעריכי של האטמוספירה. שערוך המסלול f(t) של הפגז בכל זמן נתון t מתקבל על ידי סכימה של מכפלות וקטורי המהירות ב-ΔT. מיקום הפגיעה במישור XY מתקבל על ידי הצבת Z=0 (אם לא מתחשבים בצורה הכדורית של כדור הארץ).

התגוננות מפני איומים בליסטיים:

ידיעה מדויקת של מסלול רקטי היא פרמטר קריטי בהתגוננות מפני האיום, שכן מהירות הרקטה גבוהה ומכאן יירוטה הוא משימה קשה מאוד, ולכן רק באמצעות קביעת מיקומה במרחב ניתן להביא מיירט מתאים להיות בקרבתה. ניתן להסתכל על רקטה כעצם המתמרן במידה רבה מאוד, שכן מרגע שהמנוע שלה מפסיק לפעול כוחות התנגדות האוויר החזקים גורמים לה לתאוטה עצומה; מעל 10g בתחילת המסלול ותאוטה גדולה גם באמצע המסלול. על כן מיירט מתאים חייב להיות בעל יכולת תמרון גבוהה מאוד (גבוהה לפחות כשל הרקטה) כדי להיות מסוגל ליירט רקטה. במערכות הגנה אקטיביות מפני טילים, היירוט מתבצע לרוב באמצעות הנחיית המיירט (הנעשית באמצעות מכ"ם בקרת אש ייעודי) לנקודה אופטימלית מסוימת כאשר עם התקרבות הטיל אל הנקודה ראש הביות שלו "ננעל" על הרקטה באופן עצמאי (הטיל מצויד באמצעי עקיבה משלו) ומרגע זה ואילך הטיל ממשיך בדרכו בהתאם לחוקי ההנחיה שלו.

קליעים

משתמשים בתורת הבליסטיקה גם כדי להבין את תנועתם והתנהגותם של קליעים. בליסטיקה זו נחלקת לשלושה חלקים:

1. בליסטיקה פנימית - עוסקת בתנועת גוף, בעיקר קליעים מסוגים שונים, בתוך מסגרת מובילה. לדוגמה: תנועת קליע בתוך קנה.
2. בליסטיקה חיצונית - עוסקת בתנועת הקליע מרגע עזיבת המסגרת המובילה ועד לרגע פגיעתו ביעדו הסופי. לדוגמה: חישוב מסלול ירי של קליע, מרגע יציאתו מקנה הנשק ועד לרגע פגיעתו במטרה או חישוב מסלול של חפץ המושלך בכוח.
3. בליסטיקה סופית - עוסקת ביחסי הגומלין בין הקליע לבין התווך בו פגע ובהשפעת הכוחות השונים הפועלים על כל אחד מהם.

בליסטיקה משפטית

ניסוי בליסטי משפטי

בליסטיקה משפטית מטפלת בעיקר בשני תחומים:

1. בליסטיקה חיצונית, בה נעשים חישובי מסלולי ירי, של קליעים שונים, על מנת לאשר, או להפריך, קיום מסלול ירי אפשרי.
2. זיהוי והשוואת סימנים בכלי נשק ותחמושת.

כל כלי נשק (המדובר ב"נשק" על פי הגדרת החוק) משאיר שני סוגי סימנים:

• סימנים משפחתיים - אלה סימנים המשותפים לכל כלי הנשק מאותו סוג, תוצר ודגם. מקורם מאופי התכנון של כלי הנשק המסוים.
• סימנים ייחודיים - אלה סימנים ייחודיים לכל נשק ונשק (מעין טביעת אצבע שלו) ומקורם בתהליכי הייצור ובפגמים הנוצרים במהלך השימוש בנשק ומבלאי טבעי שלו.

שני סוגי הסימנים הנ"ל, מוטבעים על כל תרמיל וקליע, הנורים מנשק מסוים. הסימנים המשפחתיים מאפשרים לזהות את סוג הנשק (אקדח, רובה, תמ"ק וכדומה) ולעיתים אף את היצרן והדגם שלו. הסימנים הייחודיים, מאפשרים לקשר בין נשק מסוים לבין תרמיל ו/או קליע שנורו ממנו.

בעבר נעשתה עבודת ההשוואה, בין נשק לתרמיל ו/או קליע, באופן ידני על ידי מומחה אנושי שהסתייע במיקרוסקופ השוואתי. כיום ישנן מערכות אופטיות, המסייעות לבצע מיון וזיהוי ראשוני, כאשר עדיין נדרשת מעורבות של מומחה אנושי שיאשר את ההשוואה.

טילים בליסטיים

טיל בליסטי הוא טיל שחלק ניכר ממסלולו הוא בליסטי, כלומר מושפע מכוחות הכבידה והתנגדות האוויר (גרר) בלבד. למרות שהגדרה זו מתאימה למעשה למרבית הטילים וכן לפגזי ארטילריה, השימוש המקובל במונח "טיל בליסטי" מתאר טיל שמרבית מסלולו מתבצע מחוץ לאטמוספירה, והוא בעל טווח של מאות ק"מ לפחות. טיל כזה מונחה לרוב רק בשלב בו הוא מונע ומסלולו נקבע על-פי חוקי האסטרודינמיקה והבליסטיקה. מסלולו של טיל בליסטי בשלב הטיסה החופשית (ראו להלן) הוא אליפטי ומושפע מכוח הכבידה בלבד. למעשה זהו מסלול כשל לוויין, מלבד העובדה שהוא חותך את כדור הארץ. קיימים טילים בליסטיים עם הנחיה לראש הקרבי לאחר חדירתו לאטמוספירה. הנחיה זו נקראת ביות סופי.

ראו גם

• בליסטרה
• נפילה חופשית
• טיל בליסטי

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: בליסטיקה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: בליסטיקה

• בליסטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• בליסטיקה, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

1. ראו למשל במדרש איכה רבה פרשה ב.
2. The Science of Ballistics: Mathematics Serving the Dark Side