אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

הגדרה

יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה ${\displaystyle U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} _{k}(J)}$ (שמסמנים ${\displaystyle \,U_{x}=U(x)}$) ואיבר מיוחד ${\displaystyle 1\in J}$, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, ${\displaystyle \,U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}}$, ו-${\displaystyle \,U_{x,y}=U_{x+y}-U_{x}-U_{y}}$ היא תבנית ביליניארית; שנית, ${\displaystyle \,U_{1}={\bf {1}}}$; ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית ${\displaystyle \,U_{U_{x}y}=U_{x}U_{y}U_{x}}$, והזהות ${\displaystyle \,U_{x}V_{y,x}=V_{x,y}U_{x}}$ כאשר ${\displaystyle \,V_{x,y}z=U_{x,z}y}$.

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים ${\displaystyle \,\{xyz\}=U_{x,z}y}$; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה ${\displaystyle \,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\}}$ היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, ${\displaystyle \,U_{x,y},V_{x,y}}$ הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

הקשר לאלגברות ז'ורדן

כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה ${\displaystyle \,xy={\frac {1}{2}}x\circ y}$; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי ${\displaystyle \,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}}}$ (כאשר ${\displaystyle \,L_{x}y=xy}$), ואז ${\displaystyle \,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y)}$ (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים ${\displaystyle \,U_{x}y=xyx}$). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

דוגמאות

אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה ${\displaystyle \,U_{x}y=xyx}$ הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-${\displaystyle A^{+}}$. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.

איברים, אידיאלים ומנות

איבר x הוא הפיך אם הפונקציה ${\displaystyle \,U_{x}}$ המתאימה לו הפיכה (באלגברה ${\displaystyle \,A^{+}}$ איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים ${\displaystyle \,U_{x}y=x}$ הוא ההפכי של x, ומסמנים אותו ב-${\displaystyle x^{-1}}$. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק.

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם ${\displaystyle \,U_{I}J,U_{J}I\subseteq I}$. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית).

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה ${\displaystyle \,p^{-1}}$ והפעולות ${\displaystyle \,U'_{x}=U_{x}U_{p}}$, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J. אוסף ההעתקות ההפיכות ${\displaystyle \,U_{x}}$ יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית.