אוריינטציה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית אוריינטציה היא מבנה על מרחב ליניארי ממשי שמשעותו האינטואיטיבית קשורה לכיוון. להלן מספר דוגמאות:

• על ישר, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירת כיוון התקדמות לאורך הישר.
• על מישור אפשר לחשוב על אוריינטציה כבחירת כיוון סיבוב (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון).
• במרחב, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירה של כלל יד ימין.

ניתן לראות בתמונה את האוריינטציה השמאלית (בצד שמאל) ואת הימנית (בצד ימין).

אוריינטציה על מרחב וקטורי ממשי כללי, היא בחירה של איזה בסיסים (סדורים) יקראו חיוביים, ואיזה יקראו שלליים.

הגדרה

יהיה ${\displaystyle V}$ מרחב ליניארי ממשי ${\displaystyle n}$ ממדי.

הגדרה באמצעות בסיסים

ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על ${\displaystyle V}$ כך:

הגדרה: אוריינטציה על ${\displaystyle V}$ היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.^[1]

נשים לב כי סדר האיברים בבסיס חשוב. מטריצת המעבר בין שני בסיסים עם סידור שונה היא מטריצת תמורה. בהתאם, מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא הדטרמיננטה של מטריצת תמורה זו או, במילם אחרות, הסימן של התמורה.

דרך אחרת להגדיר יחס שקילות זה היא על ידי השאלה הבאה: האם אפשר לעבור באופן הדרגתי ורציף מבסיס אחד לבסיס אחר, כך שבכל שלב במעבר הווקטורים תמיד יהוו בסיס. אם התשובה לשאלה זו היא חיובית אז הבסיסים שקולים.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי^[2]) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

אוריינטציה סטנדרטית

על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:

${\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \ \\0\\1\\\end{pmatrix}}\right\rangle }$.

נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה ${\displaystyle \langle v,w,v\times w\rangle }$ נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה^[3].

הגדרה באמצעות תבניות

ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על ${\displaystyle V}$ גם באמצעות ${\displaystyle n}$-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה $${\displaystyle \omega$$ :{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {V\times \dots \times V} }}\to \mathbb {R} } המקיימת:

• ${\displaystyle \omega }$ ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב-${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \omega }$ אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב-${\displaystyle V}$.

מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר

הגדרה: אוריינטציה על ${\displaystyle V}$ היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס ${\displaystyle B=\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle }$ ב-${\displaystyle V}$ אפשר להתאים תבניות ${\displaystyle \omega _{B}}$ באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת ${\displaystyle \omega _{B}(e_{1},\dots ,e_{n})=1}$ הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

אוריינטציה על נקודה

ההגדרות האלה לא ברורות במקרה ש ${\displaystyle n=0}$. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.

העתקות שומרות אוריינטציה

העתקה ליניארית הפיכה ממרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ לעצמו נקראת שומרת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא חיובית^[4] והופכת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא שלילית. הגדרה אלטרנטיבית להעתקה שומרת אוריינטציה היא ההעתקה שניתן לשנות באופן הדרגתי ורציף כך שתתקבל בסופו של דבר העתקת הזהות וכך שבכל שלבי הביניים ההעתקה תישאר הפיכה. במילים אחרות, ההעתקות הליניאריות שומרות האוריינטציה הן בדיוק ההעתקות שנמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בחבורת ההעתקות ההפיכות ${\displaystyle GL(V)}$.

דוגמאות

• ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, סיבוב מסביב לציר ה-${\displaystyle Z}$ בזווית ${\displaystyle \alpha }$ שומר אוריינטציה.

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

• השיקוף לפי מישור ה-${\displaystyle XY}$ הופך אוריינטציה.

${\displaystyle \mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$

• מטריצת תמורה שומרת אוריינטציה אםם התמורה המתאימה היא זוגית

קשר לאוריינטציה על יריעה

מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי עומד בבסיס מושג האוריינטציה על יריעה חלקה. אוריינטציה על יריעה חלקה היא בחירה (רציפה) של אוריינטציה על המרחב המשיק בכל נקודה של היריעה. בשונה ממרחבים ליניאריים, לא על כל יריעה חלקה יש אוריינטציה. יריעה חלקה שעליה ניתן לבחור אוריינטציה נקראת אוריינטבילית.

הגדרת מושג האוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית בדרך כלל לא מתבססת על מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי, אולם מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מספק אינטואיציה טובה עבור הגדרת המושג אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית.

ראו גם

• אוריינטציה (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

• אוריינטציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Rowland, Todd. "Vector Space Orientation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html
2. במקרה הטריוויאלי נדון בהמשך
3. למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא מרחבים אפיניים. זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.
4. Weisstein, Eric W. "Orientation-Preserving." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Orientation-Preserving.html