במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי G = β ( 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … {\displaystyle {\begin{aligned}G&=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \\&=0.915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774\ldots \end{aligned}}} כאשר β {\displaystyle \beta } היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי. G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + ( x y ) 2 d x d y G = − ∫ 0 1 ln ( t ) 1 + t 2 d t G = ∫ 0 π / 4 2 t sin ( 2 t ) d t G = 1 4 ∫ − π / 2 π / 2 t sin ( t ) d t G = ∫ 0 π / 4 ln ( cot ( t ) ) d t G = ∫ 0 ∞ arctan ( e − t ) d t G = ∫ 1 ∞ ln ( t ) 1 + t 2 d t G = 1 2 ∫ 0 1 K ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}G&=\int \limits _{0}^{1}\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+(xy)^{2}}}\,dx\,dy\\G&=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {2t}{\sin(2t)}}\,dt\\G&={\frac {1}{4}}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\\G&=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\G&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}{\rm {K}}(t)\,dt\end{aligned}}} כאשר K ( t ) {\displaystyle {\rm {K}}(t)} מוגדר להיות האינטגרל האליפטי. G = π 4 ∫ 0 1 Γ ( 1 + x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) d x = π 2 ∫ 0 0.5 Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 − y ) d y G = 3 ∑ n = 0 ∞ 1 2 4 n ( 1 2 ( 8 n + 1 ) 2 − 1 2 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 3 ( 8 n + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 4 ( 8 n + 7 ) 2 ) − ∑ n = 0 ∞ 1 2 12 n ( 1 2 2 ( 8 n + 1 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 5 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 8 ( 8 n + 5 ) 2 − 1 2 9 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 11 ( 8 n + 7 ) 2 ) G = π 8 log ( 2 + 3 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int \limits _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2}})dx={\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{0.5}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)dy\\G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left({\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}\right)\\&{}\quad -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{2}(8n+1)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{5}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{8}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{11}(8n+7)^{2}}}\right)\\G&={\frac {\pi }{8}}\log(2+{\sqrt {3}})+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}\end{aligned}}} על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון: ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}=\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=\pi ^{2}-8G\end{aligned}}} קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית) סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.
