במתמטיקה , פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה ), היא פונקציה רב-ערכית , השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}}
, כש-
w
{\displaystyle w}
הוא מספר מרוכב כלשהו ו-
e
w
{\displaystyle e^{w}}
היא פונקציית האקספוננט .
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
גרף הפונקציה
y
=
W
(
x
)
{\displaystyle y=W(x)}
עבור
x
<
6
{\displaystyle x<6}
ו
y
>
−
4
{\displaystyle y>-4}
. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי
y
≥
−
1
{\displaystyle y\geq -1}
היא גרף הפונקציה
W
0
{\displaystyle W_{0}}
(ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי
y
≤
−
1
{\displaystyle y\leq -1}
היא גרף הפונקציה
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
. הערך המינימלי של
x
{\displaystyle x}
הוא ב-
(
−
1
e
,
−
1
)
{\displaystyle (-{\frac {1}{e}},-1)}
לכל מספר שלם
k
{\displaystyle k}
משויך ענף אחד, המסומן בצורה
W
k
(
z
)
{\displaystyle W_{k}({\text{z}})}
.
W
0
{\displaystyle W_{0}}
מוגדר כענף הראשי (אנ' ) . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם
z
{\displaystyle {\text{z}}}
ו-
w
{\displaystyle w}
הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:
w
e
w
=
z
{\displaystyle we^{w}=z}
אם ורק אם :
w
=
W
k
(
z
)
{\displaystyle w=W_{k}({\text{z}})}
עבור
k
{\displaystyle k}
שלם כלשהו.
אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים , אז קיימים שני הענפים
W
0
{\displaystyle W_{0}}
ו-
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
בלבד; עבור המספרים הממשיים
x
{\displaystyle x}
ו-
y
{\displaystyle y}
והמשוואה:
y
e
y
=
x
{\displaystyle ye^{y}=x}
למשוואה זו יש פתרון רק עבור
x
≥
−
1
e
{\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}
; אנו מקבלים כי
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
אם
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
, ואת שני הערכים
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
וגם
y
=
W
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=W_{-1}(x)}
אם
−
1
e
≤
x
<
0
{\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0}
(כפי שניתן לראות בתמונה).
הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה , לדוגמה, בספירת עצים . ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק , משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק ).