Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו . שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית.
מספר החלוקות השונות של נקרא פונקציית החלוקה של , ומקובל לסמנו . לדוגמה:
עבור הערכים פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים . ערכי הפונקציה גדלים במהירות, לדוגמה:
ג. ה. הארדי ורמנוג'אן הוכיחו ב-1917[1] את הנוסחה האסימפטוטית . לצורך כך הם השתמשו בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה
בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה רמנוג'אן: לכל מתקיים כי מתחלק ב-5. באופן דומה מתחלק ב-7, ו- מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.
את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונהרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית.
הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי:
מספר הפעמים שהאיבר יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר מופיע בחלוקה נתונה.
מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה הוא .
באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה:
כאשר הוא המספר המחומש המוכלל ה--י. זהו סכום סופי, מכיוון ש- (סכום ריק) ולכל מתקיים .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.