משתמש:Hadarl/טרנספורם לז'נדר
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, ובמקרים מסויימים בפיזיקה, נרצה לעתים להציג את המידע הקיים בתלות פונקציונלית , ע"י המשתנה
, במקום ע"י המשתנה
. בניגוד למעבר הישיר המתקבל ע"י החלפת המשתנה
בפונקציה
, ניתן לבצע מעבר, אשר עבור פונקציה של משתנה בודד הוא מוגדר באופן הבא:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/LegendreTransform.png/640px-LegendreTransform.png)
(*)
הפונקציה המתקבלת נקראת התמרת לז'נדר של
והיא נקראת על שם אדריאן-מארי לז'נדר. ניתן לראות את היתרונות של מעבר כזה באופן ברור בתרמודינמיקה כפי שיפורט בהמשך.
באופן גרפי ניתן לבנות את הטרנספורם באופן הבא (ר' איור 1): שרטט קו משיק ל- בנקודה
והמשך אותו עד אשר הוא פוגע בציר האנכי
. את המרחק על הציר האנכי נסמן ב-
ואז אנו רואים ש-
(יש לשים לב שיש כאן רק פרמטר אחד בלתי תלוי). כך ב-
יש את אותו המידע שיש ב-
אך הפעם הוא מבוטא ע"י
במקום
.
יש לשים לב שאמנם היה אפשר לחשוב שאפשר לייצג את המידע ב- באמצעות הביטוי
בלבד, אך בכך למעשה מאבדים חלק מהמידע ב-
כי
מוגדר עד כדי תוספת קבוע ל-
. באופו פיזיקלי, כמפורט בהמשך, ההתמרה היא זו שנותנת את הפונקציה שיכולה לתאר תנאי לשיווי משקל במשתנים החדשים.
ההגדרה של התמרת לז'נדר עבור פונקציה של משתנים היא: