משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי ולכל מספר שלם מתקיים:
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/320px-Abraham_de_moivre.jpg)
כאשר מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב , ו־ מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.
חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים ו- כפולינומים ב- ו-, בהתאמה. כך לדוגמה, . ראו פולינומי צ'בישב.
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות , השקולה לזהויות הטריגונומטריות ו-.
אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .
הוצאת שורש מרוכב
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה , ו- .
המספר (עם ), הוא שורש מסדר n של z אם , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, . זה קורה בדיוק כאשר :
כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור (רדיאנים):
כאשר , ואלו בדיוק n השורשים של z.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות
- משפט דה מואבר, באתר MathWorld (באנגלית)
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.