מכפלה קרטזית

מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית (סימון מתמטי: ${\displaystyle \times }$) היא פעולה בינארית על קבוצות היוצרת קבוצה חדשה, שאבריה הם הזוגות הסדורים שרכיביהם מגיעים משתי הקבוצות, בהתאמה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המכפלה נקראת כך על שמו של רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רֶנַאטוּס קַרְטֶזִיּוּס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים – ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

הגדרה

הגדרה: ${\displaystyle A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ \land \ b\in B\,\}}$^[1].

תהיינה ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ קבוצות. המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת ${\displaystyle A\times B}$ והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-${\displaystyle A}$ והאיבר השני שייך ל-${\displaystyle B}$.

דוגמה

אם קבוצה ${\displaystyle X}$ מכילה 13 איברים של ערכי קלפים {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} וקבוצה ${\displaystyle Y}$ מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים ‎{ (2, ♣), (3, ♣), ..., (A, ♥), ..., (K, ♠), (A, ♠) }^[2].

הכללה

באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times ...\times X_{N}=\left\{(x_{1},x_{2},...,x_{N})\ |\ \forall n:x_{n}\in X_{n}\right\}}$

בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה של קבוצות (גם אינסופית) באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:

${\displaystyle \prod _{n\in \Lambda }X_{n}=\{f:\Lambda \to \bigcup _{n\in \Lambda }X_{n}\ \ |\ \forall n:f(n)\in X_{n}\}}$. כאן ${\displaystyle \Lambda }$ היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו – לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם ${\displaystyle \Lambda }$ היא קבוצה של אינדקסים ולכל ${\displaystyle n\in \Lambda }$ הקבוצה ${\displaystyle \ X_{n}}$ לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית ${\displaystyle \prod _{n\in \Lambda }X_{n}}$ לא ריקה.

דוגמאות

• המרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ הוא מכפלה קרטזית של ${\displaystyle n}$ פעמים הישר הממשי ${\displaystyle \mathbb {R} }$. בכתיב פורמלי: ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dots \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}}$ (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את ${\displaystyle \mathbb {R} }$ בחזקת ${\displaystyle n}$).

כל וקטור במרחב זה הוא n-יה סדורה ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$. על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה ${\displaystyle f:\Lambda \to \mathbb {R} }$ כאשר ${\displaystyle \Lambda =\left\{1,2,\dots ,n\right\}}$. עבור נקודה כלשהי ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת ${\displaystyle f(k)=x_{k}}$.

• נביט בקבוצות ${\displaystyle X_{n}=\left\{1,\dots ,n\right\}}$ כאשר ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. המכפלה ${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}$ היא קבוצת הפונקציות ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ המקיימות ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :f(n)\leq n}$.

הקבוצה הריקה:

נניח: ${\displaystyle A=\{1,2\}\,\ B=\emptyset }$

${\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \emptyset =\emptyset }$

${\displaystyle B\times A=\emptyset \times \{1,2\}=\emptyset }$

ראו גם

• עקרון הכפל
• סכום ישר
• מרחב מכפלה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מכפלה קרטזית בוויקישיתוף

• מכפלה קרטזית, באתר MathWorld (באנגלית)
• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות – מכפלות קרטזיות כלליות, באתר "לא מדויק", 20 ביוני 2020

הערות שוליים

1. Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
2. ללא קלפי הג'וקר