חצי מעגל

בגאומטריה, חצי מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור אשר נמצאות מצדו האחד של קו ישר הנמצא במישור, ואשר מרחקן מנקודה הנמצאת על גבי הישר קבוע. חיתוך של מעגל לאורך הקוטר שלו יוצר שני חצאי מעגל. בגאומטריה אוקלידית וגם ברוב הגאומטריות האחרות אורכה של קשת חצי מעגלית שווה תמיד ל-180 מעלות. חלק המישור הכלוא בתחום שנוצר על ידי חיבור קצות הקשת בקטע ישר הוא צורה גאומטרית דו-ממדית שהיא חצי עיגול. זוהי צורה סימטרית בעלת ציר סימטריה אחד, שהוא האנך האמצעי לקטע שמחבר את קצות הקשת. הקטע המחבר את קצות הקשת הוא למעשה הקוטר של מעגל התוחם במדויק את החצי-מעגל, והקטע המחבר את מרכז הקוטר עם כל נקודה על החצי-מעגל הוא הרדיוס. לפי משפט תאלס כל המשולשים החסומים בחצי מעגל כך ששניים מקדקודיהם מונחים על קצות הקוטר וקודקוד נוסף מונח במקום כלשהו על פני הקשת, הם משולשים ישרי זווית. כל הישרים החותכים את החצי-מעגל והמאונכים לו מתכנסים לנקודה אחת שהיא מרכז הקוטר.

חצי מעגל בעל רדיוס r.

המחשה מונפשת של משפט תאלס. הזווית B נותרת ישרה לאורך כל תנועת הנקודה על פני הקשת.

נוסחאות

מיקום מרכז המסה של חצי-עיגול.

אורך הקשת של חצי-מעגל שרדיוסו ${\displaystyle \ r}$ שווה ל- ${\displaystyle \pi r}$, והיא חוסמת חצי-עיגול ששטחו שווה ל- ${\displaystyle \ \pi r^{2}/2}$.

בגאומטריה אנליטית משוואת החצי-מעגל הנמצא ברביעים הראשון והשני, ואשר מרכזו בראשית הצירים היא:

${\displaystyle y=|{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}|}$

מיקום מרכז המסה של חצי-עיגול:

${\displaystyle y={\frac {4r}{3\pi }}}$

שימושים גאומטריים

תיאור של בניה הנדסית של ממוצע חשבוני וממוצע הנדסי של אורכי שני קטעים בעזרת חצי מעגל.

חצי מעגל יכול לשמש לבניה גאומטרית של ממוצע חשבוני וממוצע הנדסי של אורך שני קטעים. אם בונים בעזרת מחוגה חצי מעגל על קוטר שהוא סכום שני הקטעים, הרי שאורך רדיוס המעגל, השווה באורכו למחצית הקוטר, הוא הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים. בעזרת משפט פיתגורס ניתן להוכיח שאורכו של קטע המאונך לשני הקטעים, כך שאחת מנקודות הקצה שלו נמצאת על החצי-מעגל, ונקודת הקצה השנייה מתלכדת עם נקודות הקצה המשותפות לשני הקטעים, שווה באורכו לממוצע ההנדסי של אורכי הקטעים. דבר זה יכול לעזור במשימה של תרבוע מלבן, מאחר ששטחו של מלבן שווה לשטחו של ריבוע שצלעו שווה באורכה לממוצע ההנדסי של אורכי ניצבי המלבן.

שימושים אדריכליים

קשת חצי עגולה

קשתות חצי מעגליות בשרידי אמת המים בקיסריה

קונסטרוקציית מתכת חצי מעגלית בחממת ניו גרדנס בלונדון

פתח מנהרה בגואנזואטו מקסיקו

באדריכלות של הזמן הקדום, ובעיקר בתקופת הרומאים, הייתה לצורת הקשת החצי מעגלית חשיבות מרכזית בקירוי מבנים, בגישור ובהובלת מים (אקוודוקט). יתרונותיה המבניים של צורה זו איפשרו בניית מבנים רחבי ידיים, בעלי יכולת נשיאה של עומסים גדולים. בימינו משמשת הקשת החצי מעגלית בקירוי מבנים רחבי ידיים כמו בריכות שחיה ותחנות רכבת, וכן בקירוי חממות. גם צורתן של מנהרות היא, בדרך כלל, חצי מעגלית.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חצי מעגל בוויקישיתוף

• חצי מעגל, באתר MathWorld (באנגלית)