חוג השלמים של גאוס
מספר מרוכב שהחלק הממשי והחלק הדמיוני שלו הם מספרים שלמים מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מספר מרוכב שהחלק הממשי והחלק הדמיוני שלו הם מספרים שלמים מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים (כאשר היא היחידה המדומה: ), דהיינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג השלמים בשדה , הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים.
ערך מחפש מקורות | |
הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה , זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל ולכל יש כך ש- . בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.
כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר x שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה). לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל, , ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם ראשוני אז הנורמה שלו היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן, מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם , נאמר , ואז גם ולכן ). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות:
תורת המספרים האלגברית חוקרת בין השאר את הפירוק של אידיאלים ראשוניים של בחוג הגדול יותר . בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם "e=2" (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש g=2; ולראשוניים הנותרים יש f=2. למשוואה יש פתרון אם ורק אם f=1, כלומר בשני המקרים הראשונים.
בהינתן שלם גאוסי z0, שייקרא מודולוס, שני שלמים גאוסיים z1,z2 הם קונגרואנטיים מודולו z0 אם ההפרש ביניהם הוא כפולה של z0, כלומר אם קיים שלם גאוסי q כך ש-z1 − z2 = qz0. הקונגרואנציה מודולו z0 היא יחס שקילות, שמגדיר חלוקה של השלמים הגאוסיים למחלקות שקילות, אשר נקראות מחלקות קונגרואנציה או מחלקות שאריות. מחלקת שאריות של שלם גאוסי a היא הקבוצה
של כל השלמים הגאוסיים הקונגרואנטיים ל-a ביחס ל-z0.
חיבור וכפל עבור קונגרואנציות ביחס לשלמים גאוסיים נעשים בדומה לקונגרואנציות בשלמים ממשיים. פירוש הדבר שאם a1 ≡ b1 (mod z0) ו-a2 ≡ b2 (mod z0) אז a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod z0) ו-a1a2 ≡ b1b2 (mod z0).
בהינתן מודולוס z0 לכל האיברים של אותה מחלקת שאריות יש אותה שארית בעבור חילוק אוקלידי ב-z0, ולכן גם שני איברים באותה מחלקת שקילות הם קונגרואנטיים מודולו z0. משום כך, ניתן לבנות סריג במישור המרוכב (ראו איור משמאל), אשר וקטור אחד בתא היסודי שלו הוא הווקטור המחבר את הראשית עם z0, והווקטור היוצר השני של התא היסודי ניצב לו ובאותו אורך (דהיינו סריג ריבועי). ההיגיון מאחורי הבנייה הזאת הוא שכפל של z0 בשלם ממשי מתורגם לתנועה בוקטור שבכיוון z0 ובקפיצות של אורך הווקטור, בעוד שכפל בשלם מדומה טהור יתורגם למעשה לתנועה בכיוון ניצב לו וגם כן בקפיצות של אורך הווקטור. לפי אותו ההיגיון מספר מחלקות השקילות שווה למספר נקודות הסריג בתא יחידה של הסריג, דהיינו הנורמה N(z0) = a2 + b2.
חוג השלמים של גאוס הוצג על ידי קרל פרידריך גאוס במאמרו השני על הדדיות ממעלה רביעית (1832). משפט ההדדיות הריבועית (אשר הוא הצליח להוכיח אותו לראשונה ב-1796) מקשר בין הפתירות של הקונגרואנציה (x2 ≡ q (mod p לזו של הקונגרואנציה (x2 ≡ p (mod q. בדומה לכך, הדדיות ממעלה שלישית מקשרת בין הפתירות של (x3 ≡ q (mod p לזו של (x3 ≡ p (mod q, והדדיות דו-ריבועית (ממעלה רביעית) מספקת קשר בין (x4 ≡ q (mod p ל-(x4 ≡ p (mod q. גאוס גילה שחוק ההדדיות הדו-ריבועית והמשפטים המשלימים שלו מנוסחים בצורה בהירה יותר כטענות על "מספרים שלמים מרוכבים" (השלמים הגאוסיים) מאשר כטענות על שלמים רגילים.
בהערת שוליים למאמרו הוא מדגיש שהשלמים של אייזנשטיין הם התחום הטבעי לניסוח והוכחת תוצאות על הדדיות ממעלה שלישית, ומציין שהכללות דומות של השלמים הם התחומים המתאימים לחקר חוקי הדדיות גבוהים יותר.
המאמר הזה לא רק הציג את השלמים הגאוסיים והוכיח שהם תחום פריקות יחידה, אלא שהוא גם טבע כמה מונחים שנחשבים סטנדרטיים כיום בתורת המספרים האלגברית.
מרבית הבעיות הפתוחות על חוג זה קשורות להתפלגות של הראשוניים של גאוס במישור:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.