במתמטיקה, זהויות טריגונומטריות הן זהויות בין ביטויים המכילים פונקציות טריגונומטריות אשר מתקיימים עבור כל ערך אפשרי שיציבו במשתנים. הזהויות שימושיות במקרים רבים כדי לפשט ביטויים המכילים פונקציות טריגונומטריות.
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
מתוך שתי הזהויות הללו ניתן להסיק את הטבלה הבאה שמבטאת כל פונקציה טריגונומטרית בעזרת פונקציה טריגונומטרית אחרת.
מידע נוסף , ...
כל אחת מן הפונקציות הטריגונומטריות במונחים של 5 האחרות.
פונקציה
sin
cos
tan
csc
sec
cot
סגירה
על ידי בחינת מעגל היחידה, ניתן להסיק את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שיבואו להלן.
סימטריה
כאשר מבצעים שיקוף של הפונקציות הטריגונומטריות דרך ערכים מסוימים של , התוצאה תהיה פעמים רבות אחת מהפונקציות הטריגונומטריות האחרות. מצב זה מוביל לזהויות הבאות:
מידע נוסף שיקוף דרך ...
שיקוף דרך
שיקוף דרך
שיקוף דרך
סגירה
הזזה ומחזוריות
על ידי הזזה של הפונקציות בזוויות מסוימות, ניתן לעיתים למצוא פונקציות טריגונומטריות אחרות אשר יכולות לבטא את הנדרש בצורה פשוטה יותר. מספר דוגמאות לכך ניתן לקבל על ידי הזזת הפונקציות ב־,
או
רדיאנים (90°, 180° ו-360° בהתאמה). מאחר שהמחזור של הפונקציות הללו הוא תמיד או , במקרים מסוימים הפונקציה החדשה תהיה זהה לחלוטין לפונקציה הישנה לפני ההזזה.
מידע נוסף הזזה ב־ ...
הזזה ב־
הזזה ב־ (המחזור של tan ו־cot)
הזזה ב־ (המחזור של sin, cos, csc ו־sec)
סגירה
הדרך המהירה ביותר להוכיח זהויות אלה היא באמצעות נוסחת אוילר.
מידע נוסף , למשל: ...
סינוס
הערה לשימוש בסימן "פלוס־מינוס" (± ו־∓):
כאשר מופיע הסימן ± בשני צידי המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין.
כאשר מופיע הסימן ± בצד שמאל ו־∓ בצד ימין של המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין.
למשל:
פירושו או .
זהויות אלה ניתן להוכיח באמצעות הרחבת הצד הימני במשוואה באמצעות הזהויות של סכום והפרש זוויות (ראו לעיל). ראו פעימה (אקוסטיקה) ליישום מעניין של הזהויות שלהלן.
מידע נוסף , ...
מכפלה לסכום
סכום למכפלה
סגירה
בפרט,
זהויות אלה שימושיות בשיטות אינטגרציה על ריבועי פונקציות טריגונומטריות וניתן להכלילן לחזקות שונות.
זהויות קשורות
אם x, y, ו־z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם חצי מעגל (180°), אזי .
לחלופין, אם אחת מהזוויות x, y, ו־z היא זווית ישרה (90° או π/2) אזי ניתן להגדיר את שני הצדדים כ־∞ (אינסוף). אין זה ∞+ ("אינסוף חיובי") וגם לא ∞− ("אינסוף שלילי"); הפונקציה tan(θ) שואפת בנקודה 2π ל־∞+ מצד שמאל ול־∞− מצד ימין.
ביסודה מהווה זהות זו זה התאמה של משפט תלמי משפת הגאומטריה לשפת הטריגונומטריה.
עבור שימושים מסוימים, חשוב לדעת שכל צירוף ליניארי של גלי סינוס בעלי אותו זמן מחזור אך מופע שונה מהווה גל סינוס בפני עצמו, גם הוא בעל אותו זמן מחזור אך מופע שונה. במקרה של צירוף ליניארי של גל סינוס וגל קוסינוס (בעלי הפרש מופע של π/2), נקבל
כאשר
או באופן שקול,
באופן כללי, עבור הפרש מופע כלשהו, נקבל
כאשר
וכן
סכומים של סינוסים וקוסינוסים עם ארגומנטים כטורים חשבוניים:
לכל a ו־b:
כאשר arctan(y, x) היא הכללה של arctan(y/x) אשר מכסה את כל היקף המעגל (לעיתים מכונה גם arctan2(y,x)).
אם = חצי מעגל (180°), אזי
הרכבה של הפונקציות הטריגונומטריות על הפונקציות ההפוכות
הזהויות הבאות, העוסקות במכפלות אינסופיות, שימושיות עבור פונקציות מיוחדות:
"חוק מורי":
הוא מקרה מיוחד של הזהות הבאה:
זה נובע מכך שבהכפלה ואז בעזרת אינדוקציה וחלוקה נובעת הזהות.
כאשר k = 3, x = 20°. את השם טבע הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, אשר למד את הזהות הזו בילדותו מילד בשם מורי, ומאז זכר אותו למשך כל חייו.
זהויות נוספות באותה מתכונת הן:
וכן,
.
את הזהות הבאה קשה להכליל מיד לזהות הכוללת משתנים (אך קראו בהמשך להסבר):
לאחר עיון בזהות שלהלן, ניתן להגיע למסקנה שמדידה במעלות אינה תמיד מתאימה יותר ממדידה ברדיאנים:
הגורמים 1, 2, 4, 5, 8, 10 נותנים רמז למקורה של הדוגמה הנ"ל: אלה הם המספרים הטבעיים הקטנים מ־21/2 שהם זרים ל־21 (כלומר, אין להם גורם ראשוני משותף עם 21). הדוגמאות האחרונות נובעות מעובדה בסיסית על פולינומים ציקלוטומים: הקוסינוסים מהווים את החלק הממשי של פתרונות הפולינום; סכום הפתרונות הוא פונקציית מביוס אשר מחושבת עבור המספר 21 (בדוגמה האחרונה); רק חצי מהפתרונות מופיעים בדוגמה זו. לשתי הזהויות הקודמות לזהות האחרונה נגיע בצורה דומה, עם 10 או 15 במקום 21 (ולאחר המרה למעלות).
חישוב פאי (π)
דרך יעילה במיוחד לחשב את ערכו של פאי היא שימוש בזהות שלהלן, המיוחסת לאסטרונום ג'ון משין:
הזהויות שלהלן, הלקוחות מן החשבון האינפיניטסימלי, עובדות רק עבור זוויות הנמדדות ברדיאנים; הקשרים יהפכו למסובכים יותר אם נשתמש בזוויות הנמדדות ביחידות אחרות, כגון מעלות. אם נגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות במונחים גאומטריים, ניתן למצוא את נגזרותיהן על ידי חישוב שני גבולות. הגבול הראשון הוא:
ניתן להוכיח גבול זה באמצעות מעגל היחידה וכלל הסנדוויץ'. הניסיון להוכיח את הגבול באמצעות כלל לופיטל עשוי להיות מפתה, אך אם נשתמש בגבול זה כדי להוכיח כי הנגזרת של sinx היא cosx, ולאחר מכן נשתמש בעובדה זו במסגרת כלל לופיטל, תהא זו הוכחה שמבוססת על הגיון מעגלי - וזוהי טעות לוגית. הגבול השני הוא:
אותו נוכיח באמצעות הזהות . לאחר שביססנו את שני הגבולות הנ"ל, נוכל להשתמש בהגדרת הנגזרת לפי גבול ובמשפטים קשורים כדי להראות כי וכן . אם פונקציות הסינוס והקוסינוס מוגדרות על ידי טורי טיילור שלהן, אזי ניתן למצוא את נגזרותיהן על ידי גזירת טור החזקות.
את שאר הפונקציות הטריגונומטריות ניתן לגזור באמצעות הזהויות שלעיל וכללי הגזירה.
גרעין דיריכלהDn(x) היא הפונקציה הרשומה משני צידי הזהות הבאה:
קונבולוציה של גרעין דיריכלה עם פונקציה אינטגרבילית בעלת מחזור 2π נותנת את קירוב פורייה ממעלה n של הפונקציה, כלומר סכום האיברים עד סדר n בטור פורייה של הפונקציה (או איברים −n עד n בטור פורייה המרוכב).
ההצבה הנ"ל שימושית בחשבון אינפיניטסימלי לשם המרת פונקציות רציונליות עם sin(x) ו־cos(x) לפונקציות של t על מנת למצוא את הפונקציה הקדומה שלהן.
יישום חשוב שלהן הוא במציאת אינטגרלים של פונקציות שאינן טריגונומטריות: טריק שכיח הוא להשתמש בתחליף טריגונומטרי לפונקציה, ואז לפשט את האינטגרל שהתקבל באמצעות זהות טריגונומטריות.
הקיצורים שלהלן שימשו בעבר לצורך ניווט (לדוגמה, נוסחת ה־haversine שימשה לחישוב המרחק בין שתי נקודות על כדור). כיום משתמשים בהם לעיתים נדירות בלבד.
מידע נוסף , ...
שמות (אנגלית)
קיצורים
הגדרה
versed sine versine
coversed sine coversine
haversed sine haversine
hacoversed sine hacoversine cohaversine havercosine