אי-שוויון הממוצעים

במתמטיקה, אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ מתקיים

$${\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$$

1. הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי.
2. הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני.
3. הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים.

בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ שווים זה לזה.

רקע

אם ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ מספרים חיוביים, הרי

• הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב-${\displaystyle n}$: ${\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-${\displaystyle n}$-י של מכפלתם: ${\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}$
• הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: ${\displaystyle H_{n}={\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}$

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

במקרה ${\displaystyle n=2}$ טענה זו קובעת כי ${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}}$, ושוויון מתקיים אם ורק אם ${\displaystyle a=b}$.

הוכחות

המקרה n = 2

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. באדום הממוצע החשבוני של ${\displaystyle a,b}$, בתכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\4ab&\leq (a+b)^{2}\\G_{2}&={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}\end{aligned}}}$

קל לראות כי ${\displaystyle H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}}$ ולכן משום ש-${\displaystyle G_{2}\leq A_{2}}$ בהכרח ${\displaystyle H_{2}\leq G_{2}}$.

הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את האי-שוויון ${\displaystyle G_{n}\leq A_{n}}$ בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle n}$ מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2n}$ מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2^{m}}$ מספרים, לכל ${\displaystyle m}$. בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ חיוביים. אז

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}}$$

כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$, והשני מן המקרה ${\displaystyle n=2}$.

הצעד השני: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$; אם נתונים ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$ כאשר ${\displaystyle m<n}$, נסמן ${\displaystyle a={\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{m}}}$ ונקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)a}{n}}=a}$

ולכן ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq a}$.

את האי-שוויון ${\displaystyle H_{n}\leq G_{n}}$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$

לכל פונקציה ${\displaystyle f}$ קמורה. אם משתמשים בפונקציה exp, ומציבים ${\displaystyle x_{i}=\ln(a_{i})}$, מתקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$

הממוצע הלוגריתמי

ערך מורחב – ממוצע לוגריתמי

במקרה ${\displaystyle n=2}$ ניתן להוסיף לשרשרת אי השוויונות גם את הממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:

${\displaystyle {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}-x_{2}}{\ln x_{1}-\ln x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$

הכללות

אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב ${\displaystyle a_{k}}$ מספר פעמים, למשל ${\displaystyle p_{k}}$.

אם ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ חיוביים ו-${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ שלמים חיוביים וסכומם ${\displaystyle P}$, אז האי-שוויון הופך להיות

${\displaystyle {\frac {P}{{\dfrac {p_{1}}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{P}]{a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}}}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{P}}}$

באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים ${\displaystyle p_{k}}$ במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם ${\displaystyle P=1}$. כאשר כל המקדמים שווים ל-${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ מתקבל אי־שוויון הממוצעים.

בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: ${\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{\sum {\frac {x_{i}^{\alpha }}{n}}}}}$ זו פונקציה עולה ביחס ל-${\displaystyle \alpha }$, כאשר ${\displaystyle x_{i}}$ אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר ${\displaystyle \alpha =1}$ הפונקציה גדולה יותר מכאשר ${\displaystyle \alpha \to 0^{+}}$.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון הממוצעים, באתר MathWorld (באנגלית)