Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo é un triángulo en que un dos seus ángulos é recto, é dicir, mide 90 graos. A relación entre os lados e os ángulos dun triángulo rectángulo é a base da trigonometría.

Triángulo rectángulo

O lado oposto ao ángulo recto chámase hipotenusa (lado c da imaxe). Os lados adxacentes a este chámanse catetos. O lado a pode identificarse como o lado adxacente ao ángulo B e oposto ao ángulo A, mentres que o lado b é o lado adxacente ao ángulo A e oposto ao ángulo B.

Se as lonxitudes dos tres lados dun triángulo rectángulo son enteiros, o triángulo chámase triángulo pitagórico, e as lonxitudes coñécense como terna pitagórica.

Propiedades principais

Área

Como en calquera triángulo, a área é igual á metade da base multiplicada pola altura correspondente. Nun triángulo rectángulo, se se toma como base un cateto entón o outro é a altura, polo que a área do triángulo rectángulo é a metade do produto dos dous catetos. Alxebricamente, a área T é

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

onde a e b son os catetos do triangle.

Se a circunferencia inscrita é tanxente á hipotenusa AB no punto P, entón denotando o semiperíodo (a + b + c) / 2 como s, tense PA = s − a e PB = s − b, e a área vén dada por

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}$

Esta fórmula só se aplica aos triángulos rectángulos.^[1]

Altitudes

Altura dun triángulo rectángulo

Se se debuxa a altura dende o vértice no ángulo recto á hipotenusa, entón o triángulo queda dividido en dous triángulos máis pequenos que son semellantes ao orixinal e polo tanto semellantes entre eles. Disto:

• A altura á hipotenusa é a media xeométrica (media proporcional dos dous segmentos da hipotenusa.^[2]:243
• Cada cateto do triángulo é a media proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adxacente ao cateto.

Alxebricamente,

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$ (isto coñécese en ocasións como o teorema da altura do triángulo rectángulo)

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

onde a, b, c, d, e, f se mostran no diagrama.^[3] Thus

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Ademais, a altura á hipotenusa está relacionada cos catetos do triángulo rectángulo por^[4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

A altura de cada cateto coincide co outro cateto. Dado que estas se intersecan no vértice do ángulo recto, o ortocentro do triángulo rectángulo (intersección das alturas) coincide con ese punto.

Teorema de Pitágoras

Artigo principal: Teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras afirma que:

En calquera triángulo rectángulo, a área do cadrado que ten como lado a hipotenusa (lado oposto ao ángulo recto) é igual á suma das áreas dos cadrados que teñen como lados os dous catetos (os dous ángulos que conforman o ángulo recto.

Isto pode ser escrito nunha ecuación como

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

onde c é a lonxitude da hipotenusa e a e b son as lonxitudes dos catetos.

As ternas pitagóricas son enteiros a, b, c que satisfán esta ecuación.

Inraio e circunraio

Ilustración do teorema de Pitágoras

O raio da circunferencia inscrita dun triángulo rectángulo con catetos a e b e hipotenusa c é

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

O raio da circunferencia circunscrita é a metade da lonxitude da hipotenusa,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Polo tanto, a suma dos raios das circunferencias circunscrita e inscrita é a metade da suma dos catetos:^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Un dos catetos pode expresarse en termos do raio da circunferencia inscrita e o outro cateto como

${\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Caracterización

Un triángulo ABC con lados ${\displaystyle a\leq b<c}$, semiperímetro s, área T, altura h oposta ao lado máis longo, radio da circunferencia circunscrita R, inraio r, exraios r_a, r_b, r_c (tanxentes a a, b, c respectivamente), e medianas m_a, m_b, m_c é un triángulo rectángulo se e só se calquera das afirmacións das seguintes categorías é certa. Todas son propiedades dun triángulo rectángulo, xa que as caracterizacións son equivalentes.

Lados e semiperímetro

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Ángulos

• A e B son complementarios.^[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^[8][10]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^[8][10]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Área

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB,}$ onde P é o punto de tanxencia da circunferencia inscrita co lado máis longo AB.^[11]

Inraio e exraios^[12]

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}$

Alturas e medianas

A altura do triángulo rectángulo dende o seu ángulo recto á hipotenusa é a media xeométrica das lonxitudes dos segmentos en que divide a hipotenusa. Empregando o teorema de Pitágoras sobre os tres triángulos de lados (p + q, r, s), (r, h, p) e (s, h, q),
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\quad &=\quad \;\,r^{2}\quad +\quad s^{2}\\p^{2}\!+2pq+q^{2}&=\left(h^{2}\!\!+\!p^{2}\right)\!+\!\left(h^{2}\!\!+\!q^{2}\right)\\2pq\qquad \,&=2h^{2}\quad \therefore h={\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6]:Prob. 954, p. 26}
• A lonxitude da mediana é igual ao radio da circunferencia circunscrita.
• A altura máis curta (a que está sobre o vértice do maior ángulo) é a media xeométrica dos segmentos en que divide o lado oposto (o máis longo). É o teorema da altura do triángulo rectángulo.

Circunferencia circunscrita e inscrita

• Un triángulo pode inscribirse nun semicírculo, cun lado coincidindo na súa totalidade co diámetro (teorema de Tales).
• O circuncentro é o punto medio do lado máis longo.
• O lado máis longo é un diámetro da circunferencia circunscrita ${\displaystyle \displaystyle (c=2R).}$
• A circunferencia circunscrita é tanxente ao círculo de nove puntos.^[8]
• O ortocentro cae sobre a circunferencia circunscrita.^[6]
• A distancia entre o incentro e o ortocentro é igual a ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$.^[6]

Razóns trigonométricas

As funcións trigonométricas para os ángulos agudos poden definirse como razóns dos lados dun triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, pódese construír un triángulo rectángulo, e os lados chamados oposto, adxacente e hipotenusa en relación a ese ángulo segundo as definicións dadas. Estas razóns dos lados non dependen do triángulo rectángulo escollido, senón só do ángulo dado, xa que todos os triángulos construídos deste xeitos son semellantes. Se para un ángulo dado α, os lados oposto, adxacente e hipotenusa se denominan O, A e H respectivamente, entón as funcións trigonométricas son

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Medianas

As seguintes expresións relacionan as medianas dun triángulo rectángulo:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

A mediana sobre a hipotenusa dun triángulo rectángulo divide o triángulo en dous triángulos isósceles, porque a mediana é igual á metade da hipotenusa.

As medianas m_a e m_b sobre os catetos satisfán^{[6]:p.136,#3110}

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

Recta de Euler

Nun triángulo rectángulo, a recta de Euler contén a mediana sobre a hipotenusa (é dicir, pasa polo vértice do ángulo recto e polo punto medio do lado oposto a este). Isto é porque o ortocentro do triángulo rectángulo, intersección das súas alturas, cae no vértice do ángulo recto, mentres que o circuncentro, intersección das bisectrices dos ángulos, cae no punto medio da hipotenusa.

Desigualdades

Nun triángulo rectángulo o diámetro da circunferencia inscrita é menor que a metade da hipotenusa, e máis axustadamente, é menor ou igual que ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)}$ veces a hipotenusa.^[13]:p.281

Nun triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c,

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

dándose a igualdade só no caso de que sexa isóscele.^{[13]:p.282,p.358}

Se a altura da hipotenusa se denota h_c, entón

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

dándose a igualdade só no caso de que sexa isóscele.^[13]:p.282

Outras propiedades

Se dous segmentos de lonxitudes p e q que emanan do vértice C trisecan a hipotenusa en segmentos de lonxitude c/3, entón^{[2]:pp. 216–217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

O triángulo rectángulo é o único triángulo que ten dous, en lugar dun ou de tres, cadrados inscritos diferentes.^[14]

Sexan h e k (h > k) os lados de dous cadrados inscritos nun triángulo rectángulo de hipotenusa c. Entón

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Tres lados e o raio da circunferencia inscrita r están relacionados nunha fórmula similar:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

O perímetro dun triángulo rectángulo é igual á suma dos raios da circunferencia inscrita e das tres excritas:

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$