Sólido de revolución

En matemáticas, enxeñería e na industria, un sólido de revolución é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Revolución de poliedros (Matemateca Ime-Usp)

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un disco representativo é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de $π r 2 w$ unidades.

Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

Método de disco

O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é perpendicular ao eixe de revolución; é dicir, cando a integración é paralela ao eixe de revolución.^[1]

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as liñas de $x = a$ e $x = b$ arredor do eixo x vén dado por

V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.

Se $g (x) = 0$ (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:

V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.

O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre y e $f (y)$ na parte superior e $g (y)$ na parte inferior, e tendo no eixe y a forma dun anel (ou disco no caso de que $g (y) = 0$ ), con raio externo $f (y)$ e raio interior $g (y)$ . A área dun anel é $π(R 2 - r 2)$ , onde R é o raio exterior no (neste caso, $f (y)$ ) e r é o raio interno (neste caso, $g (y)$ ) . O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto $π f (y) 2 dy$ . O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

Método do cilindro

O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é paralela ao eixo de revolución; é dicir, cando a integración é perpendicular ao eixo de revolución.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as liñas de $x = a$ e $x = b$ arredor do eixe y vén dado por:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.

Se $g (x) = 0$ e g xirando unha área entre a curva e o eixo y, redúcese a:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.

O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura $f (x) - g (x)$ , e tendo no eixe y, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é $2π rh$ , onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso $f (x) - g (x)$ ). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica $(x (t), y (t))$ nalgún intervalo $[a, b]$ , os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dados por: ^[2]

V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,

V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.

Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dadas por ^[3]

A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,

A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.

[1]
Sharma, A. K. (2005). Application Of Integral Calculus. p. 168. ISBN 81-7141-967-4.
[2]
Application Of Integral Calculus. ISBN 81-7141-967-4.
[3]
Engineering Mathematics. ISBN 0-07-014615-2.

Outros artigos