Principio de Bernoulli

O principio de Bernoulli, tamén denominado ecuación de Bernoulli ou trinomio de Bernoulli, describe o comportamento dun fluído movéndose ao longo dunha liña de corrente. Foi exposto por Daniel Bernoulli na súa obra Hidrodinámica (1738) e expresa que nun fluído ideal (sen viscosidade ni rozamento) en réxime de circulación por un conduto cerrado, a enerxía que posúe o fluído permanece constante ao longo do seu percorrido. A enerxía dun fluído en calquera momento consta de tres compoñentes:

1. Cinética: é a enerxía debida á velocidade que posúa o fluído.
2. Potencial gravitacional: é a enerxía debido á altitude que un fluído posúa.
3. Enerxía de fluxo: é a enerxía dun fluído debido á presión que posúa.

Esquema do principio de Bernoulli.

A seguinte ecuación é a coñecida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli), e consta dos tres termos arriba citados.

${\displaystyle {\frac {V^{2}\rho }{2}}+{P}+{\rho gz}=constante}$

onde:

• ${\displaystyle V}$ = velocidade do fluído na sección considerada.
• ${\displaystyle g}$ = aceleración gravitatoria
• ${\displaystyle z}$ = altura na dirección da gravidade desde unha cota de referencia.
• ${\displaystyle P}$ = presión ao longo da liña de corrente.
• ${\displaystyle \rho }$ = densidade do fluído.

Para aplicar a ecuación hai que ter en conta que:

• A viscosidade (fricción interna) é cero. É dicir, considérase que a liña de corrente sobre a cal se aplica a fórmula se atopa nunha zona 'non viscosa' do fluído.
• O caudal é constante.
• O fluxo é incompresible, sendo ρ constante.
• A ecuación aplícase a unha liña de corrente ou a un fluxo irrotacional.

Aínda que o nome da ecuación se lle debe a Bernoulli, a forma arriba exposta foi presentada por primeira vez por Leonhard Euler.

Un exemplo de aplicación do principio atopámolo nun fluxo de auga dunha tubaxe.

Características e consecuencias

Cada unha das partes desta ecuación ten unidades de lonxitude, e á vez representan formas distintas de enerxía; en hidráulica é común expresar a enerxía en termos de lonxitude, e fálase de altura ou carga. Así na ecuación de Bernoulli os termos adoitan chamarse alturas de velocidade, de presión e altura hidráulica; o termo ${\displaystyle z}$ pódese agrupar con ${\displaystyle P/\gamma }$ para dar lugar á chamada altura ou carga piezométrica.

${\displaystyle \overbrace {V^{2} \over 2g} ^{\mbox{carga de velocidade}}+\overbrace {\underbrace {\frac {P}{\gamma }} _{\mbox{carga de presión}}+z} ^{\mbox{carga piezométrica}}=\overbrace {H} ^{\mbox{Altura hidráulica ou carga debida á altura}}}$

Tamén podemos reescribir este principio en forma de suma de presións multiplicando toda a ecuación por ${\displaystyle \gamma }$, desta forma o termo relativo á velocidade denominarase presión dinámica, e os termos de presión e altura agrúpanse na presión estática.

Esquema do efecto Venturi.

${\displaystyle \underbrace {\frac {\rho V^{2}}{2}} _{\mbox{presión dinámica}}+\overbrace {P+\gamma z} ^{\mbox{presión estática}}=constante}$

ou escrito doutro xeito máis simple:

${\displaystyle q+p=p_{0}}$

onde

• ${\displaystyle q={\frac {\rho V^{2}}{2}}}$
• ${\displaystyle p=P+\gamma z}$
• ${\displaystyle p_{0}}$ é unha constante

Igualmente podemos escribir a mesma ecuación como a suma da enerxía cinética, a enerxía de fluxo e a enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa:

${\displaystyle \overbrace {\frac {V^{2}}{2}} ^{\mbox{enerxía cinética}}+\underbrace {\frac {P}{\rho }} _{\mbox{enerxía de fluxo}}+\overbrace {gz} ^{\mbox{enerxía potencial}}=constante}$

Así, o principio de Bernoulli pode ser visto como outra forma da lei da conservación da enerxía, é dicir, nunha liña de corrente cada tipo de enerxía pode aumentar ou minguar en virtude da diminución ou aumento das outras.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como o efecto Venturi, xa que a aceleración de calquera fluído nun camiño equipotencial (con igual enerxía potencial) implicaría unha diminución de presión. Este efecto explica porque os obxectos lixeiros moitas veces tenden a saírse dun automóbil en movemento cando se abren as ventás. A presión do aire é menor fóra debido a que está en movemento respecto ao que se encontra no interior, onde a presión é necesariamente maior. De forma, aparentemente, contraditoria o aire entra no vehículo, aínda que isto acontece por fenómenos de turbulencia e capa límite.

Ecuación de Bernoulli e a Primeira Lei da Termodinámica

Da primeira lei da termodinámica pódese concluír unha ecuación esteticamente parecida á ecuación de Bernouilli anteriormente sinalada, pero conceptualmente distinta. A diferenza fundamental xace nos límites de funcionamento e na formulación de cada fórmula. A ecuación de Bernoulli é un balance de forzas sobre unha partícula de fluído que se move a través dunha liña de corrente, mentres que a primeira lei da termodinámica consiste nun balance de enerxía entre os límites dun volume de control dado, polo cal é máis xeral xa que permite expresar os intercambios enerxéticos ao longo dunha corrente de fluído, como son as perdas por fricción que restan enerxía, e as bombas ou ventiladores que suman enerxía ao fluído. A forma xeral desta, chamada así, "forma xenérica da ecuación de Bernoulli", é:

${\displaystyle {\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}+z_{1}{\frac {g}{g_{c}}}+W=h_{f}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}+z_{2}{\frac {g}{g_{c}}}}$

onde:

• ${\displaystyle \gamma }$ é o peso específico (${\displaystyle \gamma =\rho g}$).
• ${\displaystyle W}$ é unha medida da enerxía que se lle subministra ao fluído.
• ${\displaystyle h_{f}}$ é unha medida da enerxía empregada en vencer as forzas de fricción a través do percorrido do fluído.
• Os subíndices ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 2}$ indican se os valores están dados para o comezo ou o final do volume de control respectivamente.
• g = 9,81 m/s² e g_c = 1 kgf·m/(N·s²)

Suposicións

A ecuación arriba escrita é un derivado da primeira lei da termodinámica para fluxos de fluído coas seguintes características.

• O fluído de traballo, é dicir, aquel que flúe e que estamos considerando, ten unha densidade constante.
• Non existe cambio de enerxía interna.

Demostración

Escribamos a primeira lei da termodinámica cun criterio de signos termodinámico conveniente:

${\displaystyle w+q=\Delta h+\Delta {\frac {V^{2}}{2}}+g\Delta z}$

Recordando a definición da entalpía ${\displaystyle h=u+Pv}$, onde ${\displaystyle u}$ é a enerxía interna e ${\displaystyle v}$ é o volume específico ${\displaystyle v=1/\rho }$. Podemos escribir:

${\displaystyle w+q=\Delta u+\Delta {\frac {P}{\rho }}+\Delta {\frac {V^{2}}{2}}+g\Delta z}$

que polas suposicións declaradas arriba pódese reescribir como:

${\displaystyle w+q={\frac {P_{2}}{\rho }}-{\frac {P_{1}}{\rho }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2}}+g(z_{2}-z_{1})}$

que dividindo todo entre a aceleración da gravidade

${\displaystyle {\frac {w}{g}}+{\frac {q}{g}}={\frac {P_{2}}{\gamma }}-{\frac {P_{1}}{\gamma }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+z_{2}-z_{1}}$

Os termos do lado esquerda da igualdade son relativos aos fluxos de enerxía a través do volume de control considerado, é dicir, son as entradas e saídas de enerxía do fluído de traballo en formas de traballo (${\displaystyle w}$) e calor (${\displaystyle q}$). O termo relativo ao traballo ${\displaystyle w/g}$ consideraremos que entra ao sistema, denominándoo ${\displaystyle h}$ e ten unidades de lonxitude, ao igual que ${\displaystyle q/g}$, que chamaremos ${\displaystyle h_{f}}$, que sae do sistema, xa que consideraremos que só se intercambia calor por vía da fricción entre o fluído de traballo e as paredes do conduto que o contén. Así a ecuación queda:

${\displaystyle h-h_{f}={\frac {P_{2}}{\gamma }}-{\frac {P_{1}}{\gamma }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+z_{2}-z_{1}}$

ou como a escribimos orixinalmente:

${\displaystyle {\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}+z_{1}+h=h_{f}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}+z_{2}}$

Así, podemos observar que o principio de Bernoulli é unha consecuencia directa da primeira lei da termodinámica, ou se se quere, outra forma desta lei. Na primeira ecuación presentada neste artigo o volume de control reducírase a tan só unha liña de corrente sobre a cal non había intercambios de enerxía co resto do sistema, de aquí a suposición de que o fluído debería ser ideal, é dicir, sen viscosidade nin fricción interna, xa que non existe un termo ${\displaystyle h_{f}}$ entre as distintas liñas de corrente.

Aplicacións do Principio de Bernoulli

Cheminea
As chemineas sobresaen a certa altura para aproveitar que a velocidade do vento é máis constante e elevada a maiores alturas. Canto máis rapidamente sopre o vento sobre a boca dunha cheminea, máis baixa será a presión e maior é a diferenza de presión entre a base e a boca da cheminea, en consecuencia, os gases de combustión extráense mellor.

Tubaxe
A ecuación de Bernoulli e a ecuación de continuidade tamén nos indican que se reducimos a área transversal dunha tubaxe para que aumente a velocidade do fluído que pasa por ela, redúcese a presión.

Natación
A aplicación dentro deste deporte vese directamente cando as mans do nadador cortan a auga xerando unha menor presión e maior propulsión.

Carburador de automóbil
Nun carburador de automóbil, a presión do aire que pasa a través do corpo do carburador, diminúe cando pasa por un estrangulador. Ao diminuír a presión, a gasolina flúe, vaporízase e mesturase coa corrente de aire.

Dispositivos de Venturi
Na osixenoterapia, a maior parte de sistemas de subministración de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, que están baseados no principio de Bernoulli.

Véxase tamén

Outros artigos

• Efecto Venturi
• Teorema de Torricelli
• Hidrodinámica

Ligazóns externas

• "El Extraño Principio de Física Que Da Forma a la Realidad" - Vídeo en YouTube (Veritasium en castelán)