Lei de Biot–Savart

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.

Ilustración da ecuación de Biot-Savart.

No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ do circuíto percorrido por unha corrente ${\displaystyle I\,}$ crea unha contribución elemental de campo magnético, ${\displaystyle d{\vec {B}}}$, no punto situado na posición que apunta o vector ${\displaystyle {\vec {U}}r}$ a unha distancia ${\displaystyle r}$ respecto de ${\displaystyle d{\vec {l}}}$, que apunta en dirección á corrente I:

${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Id{\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}}$

onde ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a permeabilidade magnética do baleiro, e ${\displaystyle {\hat {r}}}$ é un vector unitario.

No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:

${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {J}}\times {\vec {R}}}{r^{3}}}dv}$

onde ${\displaystyle {\vec {J}}}$ é a densidade de corrente no elemento de volume ${\displaystyle dv\,}$ e ${\displaystyle {\vec {R}}}$ é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.

En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión

${\displaystyle {\vec {B}}=\int d{\vec {B}}}$

Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.

A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.^[1]

Lei de Biot-Savart xeneralizada

Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:

${\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dV}}$

onde:

${\displaystyle \ dV}$ é o elemento diferencial de volume.

${\displaystyle K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$ é a constante magnética.

Diverxencia e rotacional de B → {\displaystyle {\vec {B}}} a partir da lei de Biot e Savart

A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.

Diverxencia

Aplicando o operador gradiente á expresión temos:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'}$

Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de ${\displaystyle {\vec {J}}}$ en todo o volume, o operador non afecta a ${\displaystyle {\vec {J}}}$. Aplicando a correspondente identidade vectorial:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))dV'}$

Dado que:

${\displaystyle (\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))=0}$

Temos:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

Rotacional

Aplicando o operador rotacional temos:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \times ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'}$

Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a ${\displaystyle {\vec {J}}}$ xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que ${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}=4\pi \cdot \delta (r)}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'=\mu _{0}\int _{V}{\vec {J}}\cdot \delta (r)\cdot dV'}$

Realizando a integración obtemos finalmente:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\cdot {\vec {J}}}$

Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.

Motivación histórica

Ilustración esquemática do experimento de Oersted.

Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.

O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.^[2]

Notas

1. Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
2. Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.