Lei de Ampère

En física do magnetismo, a lei de Ampère, modelada polo francés André-Marie Ampère en 1831,^[1] relaciona un campo magnético estático coa causa, é dicir, unha corrente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell corrixiuna posteriormente e agora é unha das ecuacións de Maxwell, formando parte do electromagnetismo da física clásica.

Unha corrente eléctrica produce un campo magnético, seguindo a lei de Ampère.

A lei de Ampère explica que a circulación da intensidade do campo magnético nunha contorna pechada é proporcional á corrente que percorre nesa contorna.

O campo magnético é un campo angular con forma circular, cunhas liñas que encerran a corrente. A dirección do campo nun punto é tanxento ao círculo que encerra a corrente.

O campo magnético diminúe inversamente coa distancia ao condutor.

Ampliación da lei orixinal: lei de Ampère-Maxwell

A lei de Ampère-Maxwell^[2][3][4] ou lei de Ampère xeneralizada é a mesma lei corrixida por James Clerk Maxwell que introduciu a corrente de desprazamento, creando unha versión xeneralizada da lei e incorporándola ás ecuacións de Maxwell.

Forma integral

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\iint _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+{d \over dt}\iint _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}}$

sendo o último termo a corrente de desprazamento, sempre e cando a corrente sexa constante e directamente proporcional ao campo magnético, a á súa integral (E) pola súa masa relativa.

Forma diferencial

Esta lei tamén se pode expresar de forma diferencial, para o baleiro:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

ou para medios materiais

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

Exemplo de aplicación

Fío condutor infinito

Campo magnético creado por un fío condutor de lonxitude infinita polo que circula unha corrente ${\displaystyle I_{0}\,}$, no baleiro.

O obxectivo é determinar o valor dos campos ${\displaystyle {\vec {H}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ e ${\displaystyle {\vec {M}}}$ en todo o espezo.

Escríbese a lei de Ampère:

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I_{enc}}$.

• Empréganse coordenadas cilíndricas polas características de simetría do sistema.
• Defínese unha curva arredor do condutor. É conveniente tomar unha circunferencia de raio ${\displaystyle \rho }$.
• O diferencial de lonxitude da curva será entón ${\displaystyle d{\vec {l}}=dl{\hat {\phi }}=rd\phi {\hat {\phi }}}$
• Para este caso, a corrente encerrada pola curva é a corrente do condutor: ${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle \oint _{Circ}{\vec {H}}\cdot \rho \cdot d\phi {\hat {\phi }}=I_{0}}$.

• Como o sistema posúe simetría radial (é indistinguible un punto calquera da circunferencia ${\displaystyle C\,}$ doutro que estea noutro ángulo sobre a mesma curva), pódese dicir que o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ e o raio ${\displaystyle \rho }$ son independentes da coordenada ${\displaystyle \phi \,}$. Polo tanto poden saír fóra da integral. Intégrase para toda a circunferencia, dende 0 a ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle {\vec {H}}\cdot \rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d{\vec {\phi }}=I_{0}}$.

• A integral que queda non é máis que o perímetro da circunferencia: ${\displaystyle 2\pi \rho \,}$.
• Despexamos ${\displaystyle {\vec {H}}}$ e queda en función de ${\displaystyle \rho }$. A dirección é en ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$, pola regra da man dereita:

${\displaystyle {\vec {H}}(\rho )={\frac {I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}}$

• Como se está a traballar no baleiro, ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$, polo tanto:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho )={\frac {\mu _{0}I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}}$

• E pola mesma razón, en ausencia de materiais magnéticos:

${\displaystyle {\vec {M}}(\rho )=0}$

Forma do ángulo sólido

Se c é un lazo pechado polo que circula unha corrente i, e Ω é o ángulo sólido formado polo circuíto e o punto en que se calcula o campo, entón a intensidade de campo magnético vén dada por: ${\displaystyle {\vec {H}}=i\,{\vec {\nabla }}\,\Omega }$