Espazo ultramétrico

En matemáticas, un espazo ultramétrico é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$ para todos os ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, e ${\displaystyle z}$. Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina métrica non arquimediana ou supermétrica.

Definición formal

Unha ultramétrica nun conxunto M é unha función con valores reais

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(onde ℝ denota os números reais), tal que para todo x, y, z ∈ M :

1. d(x, y) ≥ 0;
2. d(x, y) = d(y, x) (simetría);
3. d(x, x) = 0;
4. se d(x, y) = 0 entón x = y;
5. d(x, z) ≤ max {d(x, y), d(y, z)} (desigualdade forte do triángulo ou desigualdade ultramétrica).

Un espazo ultramétrico é un par (M, d) formado por un conxunto M xunto cunha distancia d ultramétrica en M, que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).

Se d satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón d chámase ultrapseudométrica en M. Un espazo ultrapseudométrico é un par (M, d) formado por un conxunto M e un ultrapseudométrico d sobre M. ^[1]

No caso de que M sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e d é xerada por unha función de lonxitude ${\displaystyle \|\cdot \|}$ (para que ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ con igualdade se ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$.

Propiedades

No triángulo da dereita, os dous puntos inferiores x e y violan a condición d(x,y) ≤ max{ d (x, z), d (y,z)}.

Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os ${\displaystyle x,y,z\in M}$, cúmprese polo menos unha das tres igualdades ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ ou ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ ou ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$. É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.

Definimos a bóla (aberta) de raio ${\displaystyle r>0}$ centrado en ${\displaystyle x\in M}$ como ${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$, temos as seguintes propiedades:

• Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se ${\displaystyle d(x,y)<r}$ entón ${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$ .
• As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ entón tampouco está baleiro ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ ou ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$ .
• Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe ${\displaystyle <}$ con ${\displaystyle \leq }$ ) tamén están abertas.
• O conxunto de todas as bólas abertas con raio ${\displaystyle r}$ e centro nunha bóla pechada de raio ${\displaystyle r>0}$ forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a ${\displaystyle r}$.

Exemplos

• A métrica discreta é unha ultramétrica.
• Os números p-ádicos forman un espazo ultramétrico completo.
• Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ^*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2⁻ⁿ, onde n é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica. ^[2]
• Se r = (r_n) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |x|_r := lim sup _{n →∞} | x_n |^r_n induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita.
• Se G é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e d(u, v) é o peso do camiño mínimo entre u e v (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por d, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito.^[3]