![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/langgl-640px-Sintay.svg.png&w=640&q=50)
Serie de Taylor
representación dunha función / From Wikipedia, the free encyclopedia
Nas matemáticas, unha serie de Taylor dunha función f(x) infinitamente derivable (real ou complexa) definida nun intervalo aberto (a-r, a+r) defínese do seguinte xeito:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Exp_series.gif/220px-Exp_series.gif)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/640px-Sintay.svg.png)
Onde n! é o factorial de n e f (n)(a) indica a n-ésima derivada de f no punto a.
Se esta serie converxe para todo x pertencente ao intervalo (a-r, a+r) e a suma é igual a f(x), entón a función f(x) denomínase analítica. Para comprobar se a serie converxe en f(x), acostúmase empregar unha estimación do resto do teorema de Taylor. Unha función é analítica se e só se se pode representar cunha serie de potencias; os coeficientes desta serie son necesariamente os determinados na fórmula da serie de Taylor.
Se a = 0, a serie denomínase serie de Maclaurin.
Esta representación ten tres vantaxes importantes:
- A derivación e integración dunha destas series pódese realizar termo a termo, que resultan operacións triviais.
- Pódese utilizar para calcular valores aproximados da función.
- É posible demostrar que, se é viable a transformación dunha función nunha serie de Taylor, é a óptima aproximación posible.
Algunhas funcións non se poden escribir como serie de Taylor porque teñen algunha singularidade. Nestes casos normalmente pódese conseguir un desenvolvemento en serie utilizando potencias negativas de x. Por exemplo f(x) = exp(−1/x²) pódese desenvolver como serie de Laurent.