Media aritmética xeométrica

A media aritmética xeométrica (AGM, arithmetic-geometric mean en inglés) M(x, y) de dous números reais positivos x e y defínese da seguinte forma. Primeiro obtemos a media aritmética de x e y denominándoa a₁, i.e. a₁ = (x+y) / 2. Despois construímos a media xeométrica de x e y denominádoa g₁, i.e. g₁ é a raíz cadrada de xy.

Agora podemos iterar esta operación con a₁ no canto de x e g₁ no canto de y. Desta forma, defínense dúas sucesións (a_n) e (g_n):

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}$

e

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}}$

Ambas sucesións converxen ó mesmo número, denominado media aritmética xeométrica M(x, y) de x e y.

Pódese demostrar que:

${\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}$

onde K(x) é a integral elíptica completa de primeira especie.