Imaxe (matemáticas)

En matemáticas, para unha función ${\displaystyle f:X\to Y}$, a imaxe dun valor de entrada ${\displaystyle x}$ é o valor de saída producido por ${\displaystyle f}$ cando se aplica a ${\displaystyle x}$. A preimaxe dun valor de saída ${\displaystyle y}$ é o conxunto de valores do dominio que producen ${\displaystyle y}$.

Para a función que relaciona unha persoa coa súa comida favorita, a imaxe de Gabriela é mazá (apple). A preimaxe de mazá é o conxunto {Gabriela, Maryam}. A preimaxe de peixe (fish) é o conxunto baleiro. A imaxe do subconxunto {Richard, Maryam} é {arroz (Rice), mazá (Apple)}. A preimaxe de {arroz (Rice), mazá (Apple)} é {Gabriela, Richard, Maryam}.

Xeneralizando, avaliar ${\displaystyle f}$ para cada elemento dun subconxunto dado ${\displaystyle A}$ do seu dominio ${\displaystyle X}$ produce un conxunto chamado "imaxe de ${\displaystyle A}$ baixo ${\displaystyle f}$". De xeito semellante, a imaxe inversa (ou preimaxe) dun subconxunto dado ${\displaystyle B}$ do codominio ${\displaystyle Y}$ é o conxunto de todos os elementos de ${\displaystyle X}$ que producen un elemento de ${\displaystyle B.}$

A imaxe da función ${\displaystyle f}$ é o conxunto de todos os valores de saída que pode producir, é dicir, a imaxe de ${\displaystyle X}$. A preimaxe de ${\displaystyle f}$, é dicir, a preimaxe de ${\displaystyle Y}$ baixo ${\displaystyle f}$, é igual a ${\displaystyle X}$ (o dominio de ${\displaystyle f}$); por iso, este último concepto apenas se emprega.

A imaxe e a imaxe inversa poden definirse tamén para relacións binarias, non só para funcións.

${\displaystyle f}$ é unha función do dominio ${\displaystyle X}$ no codominio ${\displaystyle Y.}$ O óvalo amarelo por dentro de ${\displaystyle Y}$ é a imaxe de ${\displaystyle f.}$

Definición

A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións, ${\displaystyle f:X\to Y}$ é unha función do conxunto ${\displaystyle X}$ no conxunto ${\displaystyle Y}$.

Imaxe dun elemento

Se ${\displaystyle x}$ é membro de ${\displaystyle X,}$ entón a imaxe de ${\displaystyle x}$ baixo ${\displaystyle f,}$ denotado como ${\displaystyle f(x),}$ é o valor de ${\displaystyle f}$ cando se aplica a ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ coñécese alternativamente como a saída de ${\displaystyle f}$ para o argumento ${\displaystyle x}$.

Dado ${\displaystyle y,}$ a función ${\displaystyle f}$ dise que toma o valor y se existe algún ${\displaystyle x}$ no dominio da función tal que ${\displaystyle f(x)=y}$.

Imaxe dun subconxunto

Sexa ${\displaystyle f:X\to Y}$ unha función. A imaxe baixo ${\displaystyle f}$ dun subconxunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ é o conxunto de tódolos ${\displaystyle f(a)}$ para ${\displaystyle a\in A.}$ Desígnase por ${\displaystyle f[A],}$ ou por ${\displaystyle f(A),}$ cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como ^[1][2]$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Imaxe dunha función

A imaxe dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función.^[3] Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de ${\displaystyle f}$.

Xeneralización a relacións binarias

Se ${\displaystyle R}$ é unha relación binaria arbitraria en ${\displaystyle X\times Y,}$ entón o conxunto ${\displaystyle \{y\in Y:xRy}$ para algún ${\displaystyle x\in X\}}$ chámase imaxe ou rango de ${\displaystyle R.}$ Dualmente, o conxunto ${\displaystyle \{x\in X:xRy}$ para algún ${\displaystyle y\in Y\}}$ chámase dominio de ${\displaystyle R.}$

Preimaxe ou imaxe inversa

Sexa ${\displaystyle f}$ unha función de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y.}$ A preimaxe ou imaxe inversa dun conxunto ${\displaystyle B\subseteq Y}$ baixo ${\displaystyle f,}$ denotado como ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ é o subconxunto de ${\displaystyle X}$ definido por$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$Por exemplo, para a función ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ a preimaxe de ${\displaystyle \{4\}}$ sería ${\displaystyle \{-2,2\}.}$ Se non hai risco de confusión, ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ pode denotarse por ${\displaystyle f^{-1}(B)}$. A notación ${\displaystyle f^{-1}}$ non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de ${\displaystyle B}$ baixo ${\displaystyle f}$ é a imaxe de ${\displaystyle B}$ baixo ${\displaystyle f^{-1}.}$

Exemplos

• ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ definido por ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$

A imaxe do conxunto ${\displaystyle \{2,3\}}$ baixo ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$ A imaxe da función ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle \{a,c\}.}$ A preimaxe de ${\displaystyle a}$ é ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$ A preimaxe de ${\displaystyle \{a,b\}}$ é tamén ${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$ A preimaxe de ${\displaystyle \{b,d\}}$ baixo ${\displaystyle f}$ é o conxunto baleiro ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definido por ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$

A imaxe of ${\displaystyle \{-2,3\}}$ baixo ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$ e a imaxe de ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A preimaxe de ${\displaystyle \{4,9\}}$ baixo ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$ A preimaxe do conxunto ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$ baixo ${\displaystyle f}$ é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais.

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ definido por ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$

As fibras ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de a, se${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$ (respectively). (No caso de ${\displaystyle a\geq 0,}$ daquela a fibra ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$é o conxunto de todos os ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ que satisfán a ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$ isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$)

• Se ${\displaystyle M}$ é unha variedade e ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ e a proxección canónica desde fibrado tanxente ${\displaystyle TM}$ en ${\displaystyle M,}$ entón as fibras de ${\displaystyle \pi }$ son os espazos tanxentes ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ para }}x\in M.}$ isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
• Un grupo cociente é unha imaxe homomorfa.

Notas

1. "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". Mathematics LibreTexts (en inglés). 2019-11-05. Consultado o 2020-08-28.
2. Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand. Sect.8
3. Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2020-08-28.

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..

• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.