Corte de Dedekind

En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado ${\displaystyle E}$ é un par (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$) de subconxuntos de ${\displaystyle E}$, que forman unha partición de ${\displaystyle E}$, e onde todos os elementos de ${\displaystyle A}$ son menores que calquera elemento de ${\displaystyle B}$.

Un corte de Dedekind separa o conxunto de números racionais en dous subconxuntos: aqueles que teñen un cadrado menor que 2 e os que teñen cadrado maior que 2. Este corte pode identificarse co número irracional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. O conxunto de cortes de Dedekind pódese usar para construír o conxunto de números reais a partir dos números racionais.

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, pero que non ten por que ser un elemento de ${\displaystyle E}$.

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

Definición

Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado ${\displaystyle E}$ defínese por un par (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$), onde ${\displaystyle A\subset E}$ e ${\displaystyle B\subset E}$, tal que:

1. ${\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }$
2. ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$
3. ${\displaystyle A\cup B=E}$
4. ${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}$

Os puntos 1, 2 e 3 din que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ constitúen unha partición de ${\displaystyle E}$. Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de ${\displaystyle E}$ nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

• ${\displaystyle \forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)}$ e
• ${\displaystyle \forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)}$.

Exemplos

Construción dos números reais

Se ${\displaystyle E=\mathbb {Q} }$, o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}}$

Este corte permite representar o número irracional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ permite unha construción do conxunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Orde dos cortes de Dedekind

Sexan ${\displaystyle (A,B)}$ e ${\displaystyle (C,D)}$ dous cortes de Dedekind en ${\displaystyle E}$. Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de ${\displaystyle E}$ establecendo:

${\displaystyle (A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C}$.

Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind ${\displaystyle E}$ provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que ${\displaystyle E}$ non a posúa. Somerxendo ${\displaystyle E}$ neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número real
• Construción de números reais
• Sucesión de Cauchy