Kompleks getal

In komplekse getal is de som fan in reëel getal en in imazjinêr getal. Om't in imazjinêr getal skreaun wurde kin as it produkt fan de imazjinêre ienheid ${\displaystyle i}$ en in reëel getal, kin in kompleks getal beskôge wurde as in kombinaasje fan twa reële getallen.

Bewurkings

Foar de imazjinêre ienheid ${\displaystyle i}$ jildt it aksioma: ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Fierders folgje de definysjes fan bewurkings mei komplekse getallen de bewurkings fan reële getallen. Sa binne negaasje, optelling, fermannichfâldiging en dieling definiearre:

Negaasje

${\displaystyle -(a+bi)=-a-bi}$

Optelling

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$

Fermannichfâldiging

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i}$

Dieling

${\displaystyle {\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}$

Njonken de negaasje is ek noch de komplekskonjungearre definiearre:

De komplekskonjungjerre fan ${\displaystyle (a+bi)}$ is ${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-bi}$.

Koördinaten

De twa reële getallen fan in kompleks getal kinne ek beskôge wurde as koördinaten yn twa diminsjes. Dan kin de samling fan de komplekse getallen as in flak sjoen wurde, in getalleflak, as útwreiding fan de getalleline by de reële getallen.

Sa kinne komplekse getallen yn in grafyk werjûn wurde. Nim foar x it reële part en foar y it imazjinêre part. Dan kin it getal ek werjûn wurde mei poalkoördinaten, as in lingte en in hoek. It getal ${\displaystyle 1+i}$ hat dan in lingte fan ${\displaystyle {\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}$ en in hoek fan ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ mei de x-as.

De lingte is hjir de útwreiding fan de abslúte wearde by de reële getallen.

Komplekse e-macht

De komplekse e-macht, is ${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$.

Hjirút kinnne in protte regels mei sinus en kosinus ôflaat wurde.

Tapassing

De grûn foar it definiearjen fan komplekse getallen wie yn de 16e iuw dat der reêle ferlikings wienen dêr't de reële oplossings net fan berekkene wurde koenen, om't by it berekkenjen woartels út negative getallen foarkamen. Rafael Bombelli skreau hjirta de rekkenregels foar komplekse getallen út.

Leonhard Euler yntrodusearre yn 1777 de notaasje mei de imazjinêre ienheid ${\displaystyle i}$. Dêrmei waard de keppeling mei de trigonometryske funksjes mûglik. Dizze kombinaasje makket de komplekse getallen gaadlik foar it beskriuwen fan weachferskynsels.

De tapassing dêr't wiskundelearlingen it earst komplekse getallen by tsjinkomme is lykwols it berekkenjen fan de woartels fan in fjouwerkantsferliking dy't gjin reêle woartels hat.