Valôr assolût

Il valôr assolût o modul di un numar reâl al è il valôr no-negatîf dal numar, cence il segn. In pratiche, inte rete reâl, al rapresente la distance tra il numar e il zero.

Il valôr assolût come distance di un pont de rete reâl de origjine.

Definizion

Dât un numar reâl ${\displaystyle x}$, il so valôr assolût si indiche cun ${\displaystyle |x|}$ e si definìs come $${\displaystyle |x|={\begin{cases}x&{\text{se }}x\geq 0\\-x&{\text{se }}x<0.\end{cases}}}$$ Si pues ancje scrivi $${\displaystyle {\begin{aligned}|x|&=\max\{x;-x\}\\|x|&=x\cdot \mathbf {1} [x\geq 0]-x\cdot \mathbf {1} [x<0]\end{aligned}}}$$ lì che si è usade la funzion indicadore ${\displaystyle \mathbf {1} [\cdot ]}$, che e vâl 1 se l'argoment al è vêr e 0 se al è fals. Ricuardant che la lidrîs cuadrade e je simpri positive o nule (par esempli, ${\displaystyle {\sqrt {25}}=5}$ ancje se ${\displaystyle (-5)^{2}=25}$), si à ancje $${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.}$$

Proprietâts

Il valôr assolût al gjolt des proprietâts chi sot.

1. Il valôr assolût di un cualsisei numar reâl al è simpri plui grant o avuâl a zero,$${\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0.}$$
2. Il modul dal prodot di doi numars al è simpri avuâl al prodot dai modui,$${\displaystyle |ab|=|a||b|\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} .}$$
3. Il valôr assolût di un numar reâl e dal so opuest a son avuâi,$${\displaystyle |-a|=|a|,\qquad \forall a\in \mathbb {R} .}$$
4. Idempotence. Sint il modul un numar positîf, si à$${\displaystyle {\bigl |}|a|{\bigr |}=|a|}$$ven a stâi, il valôr assolût dal valôr assolût di un numar al è il stes valôr assolût.
5. Disavualitât triangolâr. Il valôr assolût de some di doi numars al è simpri minôr o avuâl ae some dai valôrs assolûts$${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} .}$$In particolâr, la avualitât e vâl se e dome se i doi numars a àn il stes segn (a concuardin). Al contrari, il segn di minôr al vâl in câs di discuardance.

Come conseguence de disavualitât triangolâr, si pues ancje scrivi$${\displaystyle |a-b|\geq {\bigl |}|a|-|b|{\bigr |}\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} .}$$

Dimostrazion: Dât che ${\displaystyle a=(a-b)+b}$, pe disavualitât triangolâr si pues scrivi$${\displaystyle |a|=|(a-b)+b|\leq |a-b|+|b|}$$ven a stâi$${\displaystyle |a-b|\geq |a|-|b|.}$$De stesse maniere, si pues provâ che$${\displaystyle |b-a|\geq |b|-|a|.}$$Al baste cumò notâ che ${\displaystyle |a-b|=|b-a|}$ (pe proprietât 4) e che ${\displaystyle |a|-|b|=-(|b|-|a|)}$ e, duncje, ${\displaystyle {\bigl |}|a|-|b|{\bigr |}}$ al è avuâl o a ${\displaystyle |a|-|b|}$ o a ${\displaystyle |b|-|a|}$. Zontant ducj i risultâts si oten la disavualitât cirude.

La funzion valôr assolût

La funzion valôr assolût. La funzion valôr assolût ${\displaystyle f(x):x\mapsto |x|}$ e je une funzion reâl di variabil reâl. E je definide ecuivalentementri di une des formis viodudis prime o, doprant la funzion segn ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$, de forme $${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x).}$$ Come che si pues intuî de figure chi in bande, il valôr assolût al è une funzion continue su dut ${\displaystyle \mathbb {R} }$; liniâr a trats; diferenziabil par dut infûr dal pont ${\displaystyle x=0}$; monotoniche decressinte tal interval ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ e monotoniche cressinte tal interval ${\displaystyle [0,+\infty )}$; convesse; pâr (i.e. ${\displaystyle |x|=|-x|}$) e duncje no invertibile. Esemplis di composizion dal valôr assolût.

Gjeneralizazion dal valôr assolût

La operazion valôr assolût di un numar reâl, e la sô interpretazion di misure di distance su la rete reâl, si puedin estindi a altris struturis matematichis. Par esempli, il modul di un numar complès ${\displaystyle z=\Re \{z\}+\mathrm {j} \Im \{z\}}$ al è dât di $${\displaystyle |z|={\sqrt {\Re ^{2}\{z\}+\Im ^{2}\{z\}}}}$$ e al rapresente la distance dal pont ${\displaystyle z}$ de origjine dal plan complès. Un altri esempli al è la norme di un vetôr ${\displaystyle n}$-dimensionâl ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$, ven a stâi $${\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}}}.}$$ Il numar reâl positîf ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$ al è la misure de lungjece dal vetôr ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Bibliografie

• Wikipedia Contributors. Absolute value, in Wikipedia, The Free Encyclopedia, 20 avost 2015, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Absolute_value&oldid=673679090>.
• Contributori di Wikipedia, Valore assoluto, in Wikipedia, L'enciclopedia libera, 20 avost 2015, <https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Valore_assoluto&oldid=73289536>.